INDICE 1...I numeri reali...1 1.1...Proprietà...1 1.1.1...Proprietà algebriche...1 1.1.2...Proprietà d'ordine...2 1.2...Intervalli...5 1.3...Insiemi Limitati...7 1.4...Punto di Accumulazione...10 1.5...Equazioni...13 1.6...Disequazioni...16 1.6.1...Disequazioni di secondo grado...18 1.6.2...Disequazioni razionali...19 1.6.3...Disequazioni irrazionali...20 1.6.4...Disequazioni con il modulo...23 2...Relazioni e funzioni...27 2.1...Relazione...27 2.2...Le funzioni...30 2.3...Alcune tipologie di funzioni...36 2.3.1...La retta...37 2.3.2...Funzioni polinomiali...44 2.3.3...Funzione parabolica...47 2.3.4...Funzione potenza...48 2.3.5...Funzioni razionali...50 2.3.6...Funzione valore assoluto...52 2.3.7...Funzione segno...52 2.3.8...Funzione esponenziale...53 2.3.9...Funzione logaritmo...54 2.4...Operazioni con le funzioni...59 2.4.1...Prodotto di composizione...60 2.5...Trasformazioni di posizione e scala...63 3...I limiti...67 3.0.1...Definizione di limite...68 3.1...I limiti e le loro proprietà...68 3.1.1...Convergenza e Divergenza...72 3.2...Limiti di funzioni razionali fratte...77 3.3...Limiti di funzioni irrazionali...78 3.5...Infinitesimi e infiniti...83 3.5.1...Principio di sostituzione degli infinitesimi e infiniti...84 3.6...Asintoti...85 3.7...Forme indeterminate: teorema di De L'Hopital...87 3.7.1...Confronto al limite per funzioni esponenziali, logaritmiche e algebriche...89 3.8...Funzioni continue...91 3.9...Discontinuità...97 4...Calcolo differenziale...101 4.0.1...Definizione di derivata...103 4.1 Funzioni crescenti e decrescenti...108 4.2 Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy...115 4.3 Studio di funzione...121 4.4 Esercizi svolti...134 5 Funzioni di più variabili...143 5.1 Alcune tipologie di funzioni...146 5.1.1 Funzione di tipo polinomiale...147 5.1.2 Funzione razionale...148 5.1.3 Funzioni irrazionali...148 5.2 Derivazione delle funzioni di più variabili...154 5.3 Curve di livello e derivate parziali...155 5.4 Gradiente...156 5.5 Estremanti di una funzione in due variabili...158 5.5.1 E se l'hessiano dovesse ``venire'' nullo?...162 5.5.2 Massimizzazione vincolata...163 5.6 Funzione di Lagrange...167 6 Equazioni differenziali...169 6.0.1 Equazione differenziale omogenea...171 6.0.2 Equazione differenziale non omogenea...176 6.0.3 Equazioni differenziali con condizioni al contorno...182 6.1 Esercizi svolti...185 7 Algebra lineare...189 7.1 Operazioni con le matrici...193 7.1.1 Prodotto per uno scalare......193 7.1.2 Somma di matrici...193 7.1.3 Prodotto di matrici...195 7.2 Spazi vettoriali...198 7.2.1 Il rango di una matrice...199 7.2.2 Determinante...200 7.3 Sistemi di equazioni lineari...208 7.3.1 Teorema di Rouché-Capelli...209 7.4 Sistemi di equazioni lineari omogenei...217 7.5 Esercizi svolti...219 8 Probabilità...233 8.1 Teoria degli insiemi...233 8.2 Il modello di probabilità...239 8.2.1 Probabilità classica...240 8.2.2 Probabilità frequentista...242 8.2.3 Modello astratto di probabilità...243 8.3 Funzione di probabilità...247 8.4 Lo spazio campionario...251 8.4.1 Spazio campionario finito con punti equiprobabili...251 8.4.2 Spazio campionario finito con punti non equiprobabili...261 8.5 Probabilità condizionata e indipendenza...262 8.6 Variabili casuali...268 8.6.1 Funzione di Ripartizione...270 8.7 Alcune variabili casuali discrete...277 8.8 Alcune variabili casuali continue...280 8.8.1 Approssimazioni...284 8.9 Appendice...285 8.10 Esercizi svolti...286 9 Esercizi...301 9.1 Numeri reali e dintorni...301 9.2 Equazioni...303 9.3 Disequazioni...303 9.4 Piano cartesiano...305 9.5 Funzioni...305 9.6 Calcolo differenziale...307 9.7 Funzioni in più variabili...310 9.8 Massimi, minimi, punti di sella di funzioni in più variabili...312 9.9 Estremi vincolati- Moltiplicatori di Lagrange...314 9.10 Equazioni differenziali...315 9.11 Sistemi di equazioni lineari...316 9.12 Calcolo delle probabilità...320 9.13 Variabili casuali...329

Metodi matematici per l'economia

DALLA VALLE, ALESSANDRA
2010

Abstract

INDICE 1...I numeri reali...1 1.1...Proprietà...1 1.1.1...Proprietà algebriche...1 1.1.2...Proprietà d'ordine...2 1.2...Intervalli...5 1.3...Insiemi Limitati...7 1.4...Punto di Accumulazione...10 1.5...Equazioni...13 1.6...Disequazioni...16 1.6.1...Disequazioni di secondo grado...18 1.6.2...Disequazioni razionali...19 1.6.3...Disequazioni irrazionali...20 1.6.4...Disequazioni con il modulo...23 2...Relazioni e funzioni...27 2.1...Relazione...27 2.2...Le funzioni...30 2.3...Alcune tipologie di funzioni...36 2.3.1...La retta...37 2.3.2...Funzioni polinomiali...44 2.3.3...Funzione parabolica...47 2.3.4...Funzione potenza...48 2.3.5...Funzioni razionali...50 2.3.6...Funzione valore assoluto...52 2.3.7...Funzione segno...52 2.3.8...Funzione esponenziale...53 2.3.9...Funzione logaritmo...54 2.4...Operazioni con le funzioni...59 2.4.1...Prodotto di composizione...60 2.5...Trasformazioni di posizione e scala...63 3...I limiti...67 3.0.1...Definizione di limite...68 3.1...I limiti e le loro proprietà...68 3.1.1...Convergenza e Divergenza...72 3.2...Limiti di funzioni razionali fratte...77 3.3...Limiti di funzioni irrazionali...78 3.5...Infinitesimi e infiniti...83 3.5.1...Principio di sostituzione degli infinitesimi e infiniti...84 3.6...Asintoti...85 3.7...Forme indeterminate: teorema di De L'Hopital...87 3.7.1...Confronto al limite per funzioni esponenziali, logaritmiche e algebriche...89 3.8...Funzioni continue...91 3.9...Discontinuità...97 4...Calcolo differenziale...101 4.0.1...Definizione di derivata...103 4.1 Funzioni crescenti e decrescenti...108 4.2 Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy...115 4.3 Studio di funzione...121 4.4 Esercizi svolti...134 5 Funzioni di più variabili...143 5.1 Alcune tipologie di funzioni...146 5.1.1 Funzione di tipo polinomiale...147 5.1.2 Funzione razionale...148 5.1.3 Funzioni irrazionali...148 5.2 Derivazione delle funzioni di più variabili...154 5.3 Curve di livello e derivate parziali...155 5.4 Gradiente...156 5.5 Estremanti di una funzione in due variabili...158 5.5.1 E se l'hessiano dovesse ``venire'' nullo?...162 5.5.2 Massimizzazione vincolata...163 5.6 Funzione di Lagrange...167 6 Equazioni differenziali...169 6.0.1 Equazione differenziale omogenea...171 6.0.2 Equazione differenziale non omogenea...176 6.0.3 Equazioni differenziali con condizioni al contorno...182 6.1 Esercizi svolti...185 7 Algebra lineare...189 7.1 Operazioni con le matrici...193 7.1.1 Prodotto per uno scalare......193 7.1.2 Somma di matrici...193 7.1.3 Prodotto di matrici...195 7.2 Spazi vettoriali...198 7.2.1 Il rango di una matrice...199 7.2.2 Determinante...200 7.3 Sistemi di equazioni lineari...208 7.3.1 Teorema di Rouché-Capelli...209 7.4 Sistemi di equazioni lineari omogenei...217 7.5 Esercizi svolti...219 8 Probabilità...233 8.1 Teoria degli insiemi...233 8.2 Il modello di probabilità...239 8.2.1 Probabilità classica...240 8.2.2 Probabilità frequentista...242 8.2.3 Modello astratto di probabilità...243 8.3 Funzione di probabilità...247 8.4 Lo spazio campionario...251 8.4.1 Spazio campionario finito con punti equiprobabili...251 8.4.2 Spazio campionario finito con punti non equiprobabili...261 8.5 Probabilità condizionata e indipendenza...262 8.6 Variabili casuali...268 8.6.1 Funzione di Ripartizione...270 8.7 Alcune variabili casuali discrete...277 8.8 Alcune variabili casuali continue...280 8.8.1 Approssimazioni...284 8.9 Appendice...285 8.10 Esercizi svolti...286 9 Esercizi...301 9.1 Numeri reali e dintorni...301 9.2 Equazioni...303 9.3 Disequazioni...303 9.4 Piano cartesiano...305 9.5 Funzioni...305 9.6 Calcolo differenziale...307 9.7 Funzioni in più variabili...310 9.8 Massimi, minimi, punti di sella di funzioni in più variabili...312 9.9 Estremi vincolati- Moltiplicatori di Lagrange...314 9.10 Equazioni differenziali...315 9.11 Sistemi di equazioni lineari...316 9.12 Calcolo delle probabilità...320 9.13 Variabili casuali...329
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