Variational Methods and Numerical Algorithms for Geometry Processing

In questo lavoro affrontiamo il problema della partizione delle forme il cui scopo è la decomposizione di un oggetto di topologia arbitraria in parti più piccole e meglio gestibili chiamate partizioni. Svariate applicazioni in Computer Aided Design (CAD), Computer Aided Manufactury (CAM) e Finite Element Analysis (FEA) sfruttano tali decomposizioni in quanto forniscono un’informazione globale sulla forma. In particolare, siamo interessati al partizionamento di varietà topologiche di dimensioni 2, in quanto il bordo di oggetti fisici tangibili può essere definito matematicamente da varietà bidimensionali immerse nello spazio euclideo tridimensionale. A tale scopo, viene eseguita un’analisi preliminare sulla forma che fa uso di diverse funzioni scalari/vettoriali definite sulla varietà. Il processo di partizionamento si può affrontare da due punti di vista: uno basato sulla percezione visiva umana e un altro basato sullo spessore delle componenti della forma in esame. In particolare, ci concentriamo sulla funzione ’Diametro di forma’ che recupera informazioni volumetriche dalla superficie, fornendo così un naturale legame tra il volume dell’oggetto e il suo bordo; inoltre studiamo la decomposizione spettrale di opportune matrici di affinità che fornisce coordinate spettrali multidimensionali caratterizzanti la forma dell’oggetto; infine introduciamo una nuova base, denominata Lp Compressed Manifold Modes, di quasi-autofunzioni sparse e localizzate dell’operatore Laplace-Beltrami. Il problema di partizionamento può essere considerato un particolare problema inverso, pertanto è fomulato come un problema di regolarizzazione variazionale che ha come soluzione la cosiddetta funzione di partizionamento. Il funzionale da minimizzare è somma di un termine di fedeltà a un determinato set di dati e di un termine di regolarizzazione che promuove la sparsità, come ad esempio la norma Lp con p ∈ (0, 1) o altre funzioni di penalizzazione non convesse e parametrizzate, con parametro positivo, che controlla il grado di non convessità. I metodi proposti per ottenere la funzione di partizione, ispirati ai modelli variazionali di Mumford-Shah di funzionali costanti o smooth a tratti, incorporano un regolarizzatore non convesso per ridurre al minimo le lunghezze del contorno delle partizioni. Per la soluzione dei problemi di ottimizzazione non convessi e non smooth si propongono metodi numerici basati su Proximal Forward-Backward Splitting, Alternating Directions Method of Multipliers e strategie Convex Non-Convex. Inoltre, studiamo un’applicazione del partizionamento di forma nell’ambito della patchbased surface quadrangulation. A questo scopo la varietà viene prima suddivisa in patch di genere zero che catturano la topologia arbitraria dell’oggetto, quindi per ogni patch viene creata una superficie minima ad elementi quadrilateri che si evolve secondo un modello differenziale alle derivate parziali, seguendo un approccio Lagrangiano per ottenere una rappresentazione a griglie quadrilatere semi-regolari. L’evoluzione è supervisionata da una ridistribuzione tangenziale uniforme dell’area-asintotica dei quadrilateri.