Sulla coomologia di spazi di moduli di curve trigonali

The main object of this thesis is the study of one the most important topological invariants of some moduli spaces of curves: rational cohomology, i.e. singular cohomology with rational coefficients. The moduli space we want to to study is the moduli space Tg of trigonal curves of genus g, a quasi-projective algebraic variety which parametrizes complex trigonal curves of fixed genus g, up to isomorphism. A trigonal curve is defined as a smooth irreducible non-hyperelliptic curve admitting a linear system g^1_3 or, equivalently, a degree 3 map to P^1. Hence, Tg naturally sits inside the moduli space Mg of complex smooth irreducible curves of genus g, as a locally closed subvariety. Moreover, given a curve in Tg, its trigonal structure defines a natural embedding in some rational geometrically ruled surface, called Hirzebruch surface. The degree of these surfaces is defined as the Maroni invariant and it determines the Maroni stratification of Tg into locally closed subvarieties. In order to study the cohomology of Tg, we will study first that of each stratum and we will see that their cohomology coincide with that of quotients of complements of discriminants in a given complex vector space by the action of an algebraic group. To compute the cohomology of complements of discriminants we will use Gorinov-Vassiliev’s method, precisely Tommasi’s adaptation of the method. From the cohomology of the complement of a discriminant and that of the algebraic group acting on it, one can deduce the cohomology of the corresponding stratum thanks to a theorem of Peters and Steenbrink. In chapter I we will recall the main properties of trigonal curves, together with the techniques mentioned above. These will be applied first in chapter II in order to obtain a full description of the rational cohomology of T5. Then, in chapter III, we will use the same techniques to generalize the result obtained in the previous chapter to higher genera. This will give us a description of the cohomology of Tg, with g ≥ 6, in a certain range. In particular, we will prove that that its cohomology ring stabilizes to its tautological ring. Finally, in chapter IV, we will discuss the stabilization of the cohomology ring of moduli spaces of smooth curves of higher gonality, also embedded in a given Hirzebruch surface.

L’argomento principale di questa tesi è lo studio di uno dei più importanti invarianti topologici di alcuni spazi di moduli di curve: la coomologia razionale, i.e. la coomologia singolare con coefficienti razionali. Lo spazio di moduli che studieremo `e lo spazio di moduli Tg di curve trigonali di genere g, una varietà quasi-proiettiva che parametrizza curve trigonali complesse di genere fissato g, a meno di isomorfismo. Una curva trigonale è definita come una curva liscia irriducibile non-iperellittica che ammette un sistema lineare g^1_3 o, equivalentemente, una mappa di grado 3 sulla retta proiettiva P^1. Dunque, Tg è naturalmente contenuto nello spazio di moduli Mg di curve complesse lisce irriducibili di genere g, come una sottovarietà localmente chiusa. Inoltre, data una curva in Tg, la sua struttura trigonale definisce un’immersione naturale in una qualche superficie razionale geometricamente rigata, detta superficie di Hirzebruch. Il grado di queste superfici è chiamato invariante di Maroni e questo definisce la stratificazione di Maroni di Tg in sottovarietà localmente chiuse. Al fine di studiare la coomologia di Tg, studieremo prima quella di ciascuno strato e vedremo che la loro coomologia equivale a quella di quozienti del complementare di un discriminante in un dato spazio vettoriale complesso per l’azione di un gruppo algebrico. Per calcolare la coomologia di complementari di discriminanti useremo il metodo di Gorinov-Vassiliev, precisamente la versione del metodo di Tommasi. A partire dalla coomologia del complementare di un discriminante e quella del gruppo algebrico che agisce su di esso, si deduce la coomologia di ciascuno strato grazie ad un teorema di Peters e Steenbrink. Nel capitolo I ricorderemo le principali proprietà delle curve trigonali, assieme alle tecniche appena menzionate. Queste tecniche verranno applicate prima nel capitolo II, al fine di ottenere una descrizione completa della coomologia razionale di T5. Successivamente, nel capitolo III, utilizzeremo le stesse tecniche per generalizzare il risultato ottenuto nel capitolo precedente per generi più alti. Questo ci darà una descrizione della coomologia di Tg, con g ≥ 6, in un certo intervallo. In particolare, dimostreremo che il suo anello di coomologia si stabilizza al suo anello tautologico. Infine, nel capitolo IV, discuteremo la stabilizzazione dell’anello di coomologia di spazi di moduli di curve lisce di gonalità più alta, anch’esse immerse in una data superficie di Hirzebruch.