Novel Results on the Factorization and Estimation of Spectral Densities

This dissertation is divided into two main parts. The first part is concerned with one of the most classical and central problems in Systems and Control Theory, namely the factorization of rational matrix-valued spectral densities, commonly known as the spectral factorization problem. Spectral factorization is a fundamental tool for the solution of a variety of problems involving second-order statistics and quadratic cost functions in control, estimation, signal processing and communications. It can be thought of as the frequency-domain counterpart of the ubiquitous Algebraic Riccati Equation and it is intimately connected with the celebrated Kálmán-Yakubovich-Popov Lemma and, therefore, to passivity theory. Here, we provide a rather in-depth and comprehensive analysis of this problem in the discrete-time setting, a scenario which is becoming increasingly pervasive in control applications. The starting point in our analysis is a general spectral factorization result in the same vein of Dante C. Youla. Building on this fundamental result, we then investigate some key issues related to minimality and parametrization of minimal spectral factors of a given spectral density. To conclude, we show how to extend some of the ideas and results to the more general indefinite or J-spectral factorization problem, a technique of paramount importance in robust control and estimation theory. In the second part of the dissertation, we consider the problem of estimating a spectral density from a finite set of measurements. Following the Byrnes-Georgiou-Lindquist THREE (Tunable High REsolution Estimation) paradigm, we look at spectral estimation as an optimization problem subjected to a generalized moment constraint. In this framework, we examine the global convergence of an efficient algorithm for the estimation of scalar spectral densities that hinges on the Kullback-Leibler criterion. We then move to the multivariate setting by addressing the delicate issue of existence of solutions to a parametric spectral estimation problem. Eventually, we study the geometry of the space of spectral densities by revisiting two natural distances defined in cones for the case of rational spectra. These new distances are used to formulate a "robust" version of THREE-like spectral estimation.

La tesi è divisa in due parti. La prima parte riguarda uno dei problemi più importanti e classici della Teoria dei Sistemi e del Controllo, ossia la fattorizzazione di densità spettrali razionali a valori matriciali, meglio conosciuto come problema di fattorizzazione spettrale. Quest’ultimo rappresenta uno strumento fondamentale per la soluzione di una vasta gamma di problemi riguardanti statistiche del secondo ordine e funzioni costo quadratiche nella teoria del controllo, della stima, dell’elaborazione di segnali e delle comunicazioni. Il problema di fattorizzazione spettrale può essere visto come la controparte nel dominio della frequenza della soluzione di un’Equazione Algebrica di Riccati ed è strettamente connesso con il famoso Lemma di Kálmán-Yakubovich-Popov e, di conseguenza, con la teoria dei sistemi passivi. Questa prima parte fornisce un’analisi approfondita e completa del problema di fattorizzazione spettrale nel caso a tempo discreto, uno scenario sempre più diffuso nelle applicazioni del controllo. Il punto di partenza della nostra analisi è un risultato generale sulla fattorizzazione spettrale che si ispira ad un approccio ideato da Dante C. Youla. Basandoci su questo risultato, esaminiamo quindi alcuni aspetti chiave legati alla minimalità e alla parametrizzazione dei fattori spettrali minimi di una data densità spettrale. Per concludere, mostriamo come estendere alcuni idee e risultati al caso più generale di fattorizzazione spettrale indefinita o fattorizzazione J-spettrale, una tecnica di importanza primaria nella teoria del controllo e della stima robusta. Nella seconda parte della tesi, consideriamo il problema della stima di una densità spettrale incognita a partire da un insieme finito di misure. Seguendo l’approccio THREE (Tunable High REsolution Estimation) di Byrnes, Georgiou e Lindquist, interpretiamo il problema di stima spettrale come un problema di ottimizzazione soggetto ad un vincolo sui momenti generalizzato. In questo contesto, studiamo la convergenza globale di un algoritmo efficiente per la stima di densità spettrali scalari basata sul criterio di Kullback-Leibler. Successivamente, ci spostiamo ad analizzare il caso multivariato, considerando un problema estremamente delicato riguardante l’esistenza di una soluzione ad un problema di stima parametrico. Infine, analizziamo la geometria dello spazio delle densità spettrali rivisitando due distanze naturali definite su coni per il caso di spettri razionali. Queste nuove distanze verranno utilizzate per formulare un problema di stima spettrale "robusta" simile all’approccio THREE.