From Quantum Metalanguage to the Logic of Qubits

The logic Lq, introduced within this thesis, is a logic for quantum information. The purpose was, in fact, to describe logically the qubit structure (that is, the intrinsic quantum superposition of a two-level quantum state) and the maximal quantum entanglement of two qubits. The logic Lq is obtained via Sambin’s reflection principle of Basic logic, by which the metalinguistic links among assertions reflect (by solving a definitional equation) into logical connectives among propositions. However, while in Basic logic the metalanguage is classical, in our case it is quantum. In the quantum metalanguage each atomic assertion carries along an assertion degree, a complex number, which is interpreted as a probability amplitude. It is just the presence of assertion degrees that allows the introduction of the connective “quantum superposition” in Lq. This connective is a generalization of the logical conjunction “and”. It is labelled by complex numbers indicating the weight by which each proposition contributes to the compound proposition. The truth-values (or truth-degrees) are the squared modules of the assertion degrees, and their range is the real interval [0,1]. Then, the logic Lq is many-valued. Differently from fuzzy logics, however, the truth-degrees are interpreted here as quantum-mechanical probabilities. The logic Lq keeps the three main properties of Basic logic, namely symmetry, reflection and visibility. This choice has been dictated by the following considerations: 1) The no-cloning and no-erase theorems of quantum information do not allow the corresponding logic to have the structural rules of weakening and contraction, with which they disagree. This fact rules out, in the search of a logic for quantum information, every kind of structural logic. 2) Choosing Basic logic instead of Linear logic (the other main sub-structural logic) was due to the fact that without visibility the connective “quantum entanglement” cannot be introduced. Furthermore, we looked for a logic of quantum information which was endowed with a deductive calculus, (in particular a sequent calculus). The logic Lq appears, in so far, as the only one which can take into account all the above desiderata. The interpretation of the assertions of the quantum metalanguage is given in terms of quantum states (the quantum metalanguage “is” the Hilbert space). The interpretation of the propositions of Lq is given in terms of (non-hermitian) operators which are weak measurements. Then, the interpretation of Lq is based on a generalization of the concepts already proposed by Birkhoff and von Neumann in “orthodox” quantum logic. The difference stands in the fact that the interpretation of Lq is not given in terms of projectors, but in terms of weak measurements, which do not give rise to an abrupt collapse of quantum wave functions. This allows a logical description of quantum superposition, because the latter is not destroyed. The possibility of interpreting propositions as weak measurements is due to the fact that we introduced a quantum metalanguage. In fact, in the interpretation of propositions, the complex factors multiplying the projection operators are nothing else than the assertion degrees. Some results of this thesis are: a) The adoption of a new kind of metalanguage, the quantum metalanguage, where the metalinguistic links are quantum correlations, and assertions have a complex assertion-degree. b) The introduction, through the reflection principle, of new (quantum) connectives, like “quantum superposition”, and “quantum entanglement”. c) The introduction of a new dual operation (which is a generalization of Sambin-Girard logical duality) to take into account the dual Hilbert space occurring in the interpretation. d) A quantum cut rule, which is interpreted as a quantum projective measurement. As the cut is a meta-rule, it follows that a quantum machine cannot perform a self-measurement and destroy itself. e) A new meta-rule, not equivalent to the cut, named “EPR rule” (to remind the Einstein-Podolsky-Rosen paradox). This rule allows to prove simultaneously two entangled theorems. f) The formulation of the “qubit theorem”, which is the logical description of the preparation of the optical qubit state. g) The lattice of propositions of Lq is, in the case of two qubits, orthomodular and non-distributive. Then, Lq is a quantum logic. It should be noticed that Lq is the first logic which is sub-structural, many-valued and quantum at the same time.

La logica introdotta in questa tesi, detta Lq, è una logica dell’ informazione quantistica. Lo scopo, infatti, era quello di descrivere logicamente la struttura del qubit (cioè, la sovrapposizione quantistica intrinseca di uno stato quantico a due livelli) e l’intreccio (entanglement) quantistico massimale di due qubits. La logica Lq è ottenuta tramite il principio di riflessione di Sambin della logica di Base, secondo il quale i legami metalinguistici tra asserzioni si riflettono (risolvendo un’ equazione definitoria) in connettivi logici tra proposizioni. Comunque, mentre nella logica di Base il metalinguaggio è classico, nel nostro caso è quantistico. Nel metalinguaggio quantistico, ciascuna asserzione atomica è dotata di un grado di asserzione, un numero complesso che viene interpretato come un’ ampiezza di probabilità. E’ proprio la presenza dei gradi di asserzione che permette l’introduzione del connettivo logico di “sovrapposizione quantistica” in Lq. Quest’ultimo è una generalizzazione del connettivo di congiunzione “and” dotato di indici complessi indicanti con quale “peso” ciascuna proposizione contribuisce alla formazione della proposizione composta. I valori (o gradi) di verità sono i moduli quadrati dei gradi di asserzione, con un range che è l’intervallo reale [0,1]. Pertanto, la logica Lq è polivalente. I gradi di verità, differentemente dalle logiche fuzzy, sono qui interpretati come probabilità quantistiche. Nella logica Lq si mantengono le tre importanti proprietà della logica di Base, cioè simmetria, riflessione e visibilità. Questa scelta è stata dettata dalle seguenti considerazioni: 1) I teoremi di no-cloning e no-erase dell’informazione quantistica non permettono di avere, nella logica corrispondente, le regole strutturali di indebolimento e contrazione, che sono in antitesi con i suddetti teoremi. Pertanto, nella ricerca di una logica dell’ informazione quantistica, ogni logica strutturale deve essere esclusa a priori. 2) La scelta tra le due più importanti logiche sub-strutturali, cioè la logica di Base e la logica Lineare, in favore della prima, è dovuta al fatto che, in assenza di visibilità, il connettivo logico “quantum entanglement” non può essere introdotto. Inoltre, si è cercata una logica dell’ informazione quantistica che avesse un calcolo deduttivo (in particolare il calcolo dei sequenti). La logica Lq sembra essere, finora, l’ unica logica dell’ informazione quantistica che possa soddisfare questi desiderata. L’ interpretazione delle asserzioni del metalinguaggio quantistico è data in termini di stati quantistici (il metalinguaggio quantistico “è” lo spazio di Hilbert). L’ interpretazione delle proposizioni di Lq è data in termini di operatori non-hermitiani, che sono misure deboli. L’ interpretazione di Lq si basa su una generalizzazione dei concetti già proposti da Birkhoff e von Neumann nella logica quantistica “ortodossa”, dove le proposizioni sono interpretate come operatori di proiezione. La differenza consiste nel fatto che in Lq le proposizioni sono interpretate invece come misure deboli, che, diversamente dalle misure proiettive, non danno luogo ad un brusco collasso della funzione d’onda. Questo permette una descrizione logica della sovrapposizione quantistica, perché essa non viene distrutta. La possibilità di interpretare le proposizioni come misure deboli, è dovuta al fatto che abbiamo introdotto un metalinguaggio quantistico. Infatti, il grado di asserzione si riflette, nell’ interpretazione delle proposizioni, con la presenza un fattore moltiplicativo complesso sui proiettori. Alcuni risultati di questa tesi sono: a) L’ adozione di un nuovo tipo di metalinguaggio, il metalinguaggio quantistico, dove i legami metalinguistici sono correlazioni quantistiche, e le asserzioni hanno un grado di asserzione complesso. b) L’ introduzione, tramite il principio di riflessione, di nuovi connettivi logici “quantistici”, quali la “sovrapposizione quantistica” e l’ “entanglement”. c) L’ introduzione di una nuova operazione duale, che è una generalizzazione della dualità logica di Sambin-Girard, che tiene conto, nell’ interpretazione, dello spazio duale di Hilbert. d) Una regola del taglio quantistica, che viene interpretata come misura quantistica proiettiva. Poiché il taglio è una meta-regola, ne consegue che una macchina quantistica non può effettuare una auto-misura e quindi auto-distruggersi. e) Una nuova meta-regola, non equivalente al taglio, detta regola EPR (rifacentesi al paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen). Questa regola permette di dimostrare simultaneamente due teoremi entanglati. f) La formulazione del “teorema del qubit”, che è la descrizione logica della preparazione dello stato quantistico del qubit ottico. g) Il fatto che il reticolo delle proposizioni di Lq nel caso di due qubits è orto-modulare non-distributivo. Quindi Lq è una logica quantistica. E’ da notare il fatto che Lq è la prima logica ad essere contemporaneamente sub-strutturale, a molti valori di verità, e quantistica.