Regular biproduct decompositions of objects

This thesis mainly pertains biproduct decompositions of objects in certain additive categories that exhibit a peculiar regular behaviour. More precisely, in certain additive categories, a biproduct of objects $\{X_i\}_{i<r}$ is completely determined up to isomorphism by a list of invariants $([X_i]_{\equiv_\mu})_{i<r,\mu<n}$, where $\{\equiv_\mu\}_{\mu<n}$ are suitable equivalence relations (n-Krull-Schmidt Theorem). In the first chapter we introduce prerequisite notions that enable us to extend results regarding certain module categories to suitable preadditive categories: The Jacobson radical of a preadditive category and ideals associated to ideals of endomorphism rings (subject of research by Facchini and Prihoda), the universal embedding of a preadditive category into an additive category, and the universal embedding of an additive category into an idempotent-complete additive category. We give a version of the Chinese Remainder Theorem for preadditive categories, extrapolated from results of Facchini and Perone, and generalised, and we provide an improved version of the classical Krull-Schmidt Theorem which is the starting point of later developments. Semilocal rings and categories are reviewed in the second chapter, and their relationship with the notion of dual Goldie dimension is explained. The third chapter also deals with prerequisites, namely, we thereby try to give a careful review of the theory of the Auslander-Bridger transpose. In the fourth chapter we generalise Warfield's results on finitely presented modules over semiperfect rings to Auslander-Bridger modules, a more general class of modules over arbitrary rings. We show how such modules are characterised by two invariants and such invariants are interchanged by the Auslander-Bridger transpose. The fifth chapter culminates in a criterion for the aforementioned n-Krull-Schmidt Theorem to hold in a given additive category, and we give some concrete examples in the case of categories of modules, such as artinian modules with prescribed heterogeneous socle, and quiver representations. The case n=2 of said theorem has long been known as ``Weak Krull-Schmidt Theorem,'' and has been proved over the years for various classes of modules. One of these, the class of couniformly presented modules, is dealt with in a more elementary way in the sixth chapter

Questa tesi riguarda principalmente le decomposizioni in biprodotti di oggetti di certe categorie additive che esibiscono un comportamento regolare peculiare. Più precisamente, in certe categorie additive, un biprodotto di oggetti $\{X_i\}_{i<r}$ \`e completamente caratterizzato a meno di isomorfismo da una lista di invarianti $([X_i]_{\equiv_\mu})_{i<r,\mu<n}$, dove $\{\equiv_\mu\}_{\mu<n}$ sono opportune relazioni di equivalenza (n-teorema di Krull-Schmidt). Nel primo capitolo introduciamo prerequisiti che ci permettono di estendere risultati che riguardano certe categorie di moduli a opportune categorie preadditive: il radicale di Jacobson di una categoria preadditiva e suoi ideali associati ad ideali di anelli di endomorfismi (soggetto di ricerche da parte di Facchini e Prihoda), l'immersione universale di una categoria preadditiva in una categoria additiva, e l'immersione universale di una categoria additiva in una categoria additiva in cui gli idempotenti si spezzano. Diamo una versione del Teorema Cinese dei Resti per le categorie preadditive, estrapolato da risultati di Facchini e Perone e generalizzato, e forniamo una versione migliorata del teorema classico di Krull-Schmidt che è il punto di partenza di sviluppi seguenti. Gli anelli e le categorie semilocali sono passati in rassegna nel secondo capitolo, in cui viene anche spiegata la loro relazione con la nozione di dimensione duale di Goldie. Il terzo capitolo è pure dedicato ai prerequisiti, precisamente, ivi cerchiamo di passare in attenta rassegna la teoria della trasposta di Auslander-Bridger. Nel quarto capitolo generalizziamo i risultati di Warfield sui moduli finitamente presentati su anelli semiperfetti ai moduli di Auslander-Bridger, che sono una classe più generale di moduli su anelli arbitrari. Mostriamo come tali moduli sono caratterizzati da due invarianti e come tali invarianti siano scambiati dalla trasposta di Auslander-Bridger. Il quinto capitolo culmina in un criterio per stabilire la validità del sopracitato n-teorema di Krull-Schmidt in una data categoria additiva, a diamo alcuni esempi concreti nel caso di categorie di moduli, come i moduli artiniani con zoccolo eterogeneo prefissato, e nel caso di categorie di rappresentazioni di quiver. Il caso n=2 di detto teorema è noto come ``teorema debole di Krull-Schmidt,'' ed è stato dimostrato negli anni per varie classi di moduli. Una di queste, la classe dei moduli couniformemente presentati, è trattata in un modo più elementare nel sesto capitolo