Generalized Moment Problems for Estimation of Spectral Densities and Quantum Channels

This thesis is concerned with two generalized moment problems arising in the estimation of stochastic models. Firstly, we consider the THREE approach, introduced by Byrnes Georgiou and Lindquist, for estimating spectral densities. Here, the output covariance matrix of a known bank of filters is used to extract information on the input spectral density which needs to be estimated. The parametrization of the family of spectral densities matching the output covariance is a generalized moment problem. An estimate of the input spectral density is then chosen from this family. The choice criterium is based on the minimization of a suitable divergence index among spectral densities. After the introduction of the THREE-like paradigm, we present a multivariate extension of the Beta divergence for solving the problem. Afterward, we deal with the estimation of the output covariance of the filters bank given a finite-length data generated by the unknown input spectral density. Secondly, we deal with the quantum process tomography. This problem consists in the estimation of a quantum channel which can be thought as the quantum equivalent of the Markov transition matrix in the classical setting. Here, a quantum system prepared in a known pure state is fed to the unknown channel. A measurement of an observable is performed on the output state. The set of the employed pure states and observables represents the experimental setting. Again, the parametrization of the family of quantum channels matching the measurements is a generalized moment problem. The choice criterium for the best estimate in this family is based on the maximization of maximum likelihood functionals. The corresponding estimate, however, may not be unique since the experimental setting is not "rich" enough in many cases of interest. We characterize the minimal experimental setting which guarantees the uniqueness of the estimate. Numerical simulation evidences that experimental settings richer than the minimal one do not lead to better performances

In questa tesi vengono presentati e analizzati due problemi dei momenti generalizzati che vengono utilizzati per la stima di modelli stocastici. Inizieremo col considerare l'approccio THREE, introdotto da Byrnes Georgiou e Lindquist, per la stima di densita spettrali. In questo metodo la covarianza dell'uscita di un banco di filtri noto è utilizzata per estrarre informazione sulla densità spettrale da stimare del segnale all'ingresso del banco. La parametrizzazione della famiglia di densità spettrali compatibili con la covarianza di uscita è un problema dei momenti generalizzato. Una stima di questa densità spettrale è scelta in questa famiglia. Il criterio di tale scelta si basa sulla minimizzazione di un opportuno indice di divergenza tra densità spettrali. Dopo aver introdotto il paradigma di tipo THREE, presenteremo una estensione multivariata della Beta divergenza per risolvere questo problema. Successivamente, affronteremo il problema della stima della matrice di covarianza dell'uscita del banco di filtri avendo a disposizione una sequenza di dati generati dalla densità spettrale all'ingresso del banco. Infine, tratteremo la tomografia di processi quantistici. Questo problema consiste nello stimare un canale quantistico che può essere pensato come l'equivalente della matrice di transizione di un processo Markoviano nel caso classico. Più precisamente, il canale quantistico da identicare è alimentato da un sistema quantistico preparato in uno stato puro noto. Il corrispondente stato all'uscita è successivamente soggetto alla misura di un osservabile. L'insieme di questi stati puri e osservabili caratterizza il setting sperimentale. Anche in questo caso, la parametrizzazione della famiglia di canali quantistici compatibili con le misure costituisce un problema dei momenti generalizzato. Il criterio di scelta della stima migliore in questa famiglia si basa sul principio a massima verosimiglianza. Tale stima può tuttavia non essere unica perchè l'esperimento in molti casi non è sufficientemente "ricco". Individueremo il setting sperimentale minimo che garantisce l'unicità della stima. Le simulazioni numeriche evidenziano che setting sperimentali più ricchi di quello minimo non portano a migliori prestazioni