Some properties of zeta functions associated to profinite groups

Consider a profinite group containing only finitely many open subgroups of index n, for any n: then it is possible to define two formal Dirichlet series associated to the group, the normal subgroup zeta function and the normal probabilistic zeta function. First, we deal with the problem of the absolute convergence of the latter, then we examine the profinite groups in which these series coincide, and we call these groups normally zeta-reversible. We conjecture that these groups are pronilpotent and we prove this conjecture if G is a normally zeta-reversible satisfying one of the following properties: G is prosoluble, G is perfect, all the nonabelian composition factors of G are alternating groups. This evidence gives us sufficient motivation to focus on finitely generated pro-p groups, as classifying normally zeta-reversible pro-p groups is the key to determine a classification of pronilpotent groups with this property: we show that normally zeta-reversible uniform pro-p groups (where p is an odd prime) are abelian and torsion-free. Later on, we use an explicit classification of analytic p-adic pro-p groups of small dimension and a formula for their subgroup zeta function to prove that a conjecture by Damian and Lucchini holds for these groups. Finally, we present some experimental results, obtained using the software GAP, concerning the behaviour (and in particular the distibution of the real zeros) of the probabilistic zeta function of finite groups.

Si consideri un gruppo profinito che abbia solo un numero finito di sottogruppi aperti di indice n, per ogni n: è possibile definire due serie formali di Dirichlet associate al gruppo, la funzione zeta dei sottogruppi normali e la funzione zeta probabilistica normale. In primo luogo, tratteremo il problema della convergenza assoluta della seconda serie, per poi esaminare i gruppi profiniti in cui queste due serie coincidono: chiameremo tali gruppi normalmente zeta-reversibili. La nostra congettura è che i gruppi con questa proprietà siano pronilpotenti, e dimostreremo tale congettura nel caso in cui G sia un gruppo profinito che soddisfa una delle seguenti proprietà: G è prosolubile, G è perfetto oppure tutti i fattori di composizione non abeliani di G sono gruppi alterni. Questi risultati ci forniscono una motivazione sufficiente per concentrarci sui pro-p gruppi finitamente generati, poiché classificare i pro-p gruppi normalmente zeta-reversibili è la chiave per ottenere una classificazione dei gruppi pronilpotenti che soddisfano tale proprietà: mostreremo che i pro-p gruppi uniformi normalmente zeta-reversibili (per p primo dispari) sono abeliani e liberi da torsione. Successivamente, useremo una classificazione esplicita dei pro-p gruppi p-adici analitici di dimensione piccola ed una formula per il computo della loro funzione zeta dei sottogruppi per provare che tali gruppi soddisfano una congettura di Damian e Lucchini. Presenteremo infine alcuni risultati computazionali, ottenuti grazie all'uso del software GAP, sul comportamento (e in particolare sulla distribuzione degli zeri reali) della funzione zeta probabilistica dei gruppi finiti.