Partial exchangeability and change detection for hidden Markov models

The thesis focuses on Hidden Markov Models (HMMs). They are very popular models, because they have a more versatile structure than independent identically distributed sequences or Markov chains, but they are still tractable. It is thus of interest to look for properties of i.i.d. sequences that hold true also for HHMs, and this is the object of the thesis. In the first part we concentrate on a probabilistic problem. In particular we focus on exchangeable and partially exchangeable sequences, and we find conditions to realize them as HHMs. For a special class of binary exchangeable sequences we also give a realization algorithm. In the second part we consider the problem of detecting changes in the statistical pattern of a hidden Markov process. Adapting to HHMs the so-called cumulative sum (CUSUM) algorithm, first introduced for independent observations, we are led to the study of the CUSUM statistics with L-mixing input sequence. We establish a loss of memory property of the CUSUM statistics when there is no change, first in the easier case of a i.i.d. input sequence, (with negative expectation, and finite exponential moments of some positive order), and then, under some technical conditions, for bounded and L-mixing input sequence.

La tesi affronta lo studio dei modelli di Markov nascosti. Essi sono oggi giorno molto popolari, in quanto presentano una struttura più versatile dei processi indipendenti ed identicamente distribuiti o delle catene di Markov, ma sono tuttavia trattabili. Risulta quindi interessante cercare proprietà dei processi i.i.d. che restano valide per modelli di Markov nascosti, ed è questo l'oggetto della tesi. Nella prima parte trattiamo un problema probabilistico. In particolare ci concentriamo sui processi scambiabili e parzialmente scambiabili, trovando delle condizioni che li rendono realizzabili come processi di Markov nascosti. Per una classe particolare di processi scambiabili binari troviamo anche un algoritmo di realizzazione. Nella seconda parte affrontiamo il problema del rilevamento di un cambiamento nei parametri caratterizzanti la dinamica di un modello di Markov nascosto. Adattiamo ai modelli di Markov nascosti un algoritmo di tipo cumulative sum (CUSUM), introdotto inizialmente per osservazioni i.i.d. Questo ci porta a studiare la statistica CUSUM con processo di entrata L-mixing. Troviamo quindi una proprietà di perdita di memoria della statistica CUSUM, quando non ci sono cambiamenti nella triettoria, dapprima nel caso più elemenatare di processo di entrata i.i.d. (con media negativa e momenti esponenziali di qualche ordine finiti), e poi per processo di entrata L-mixing e limitato, sotto opportune ipotesi tecniche.