ON 1-Motives with torsion and their l-ADIC realisations

In the rst chapter, we introduce the abelian category M of 1-motives with torsion, which was constructed by L. Barbieri-Viale, A. Rosenschon and M. Saito. This category serves as the base of this thesis. We also dene the l-adic realisations to 1-motives with torsion, and give descriptions to the first Yoneda extension groups between simple 1-motives. The second chapter is devoted to some cohomological results used in this thesis. We are mainly interested in Galois cohomological group, continuous cohomological groups, Yoneda extension groups, and several spectral sequences relating these kinds of groups. In the end of this chapter, we also prove the neotherianity of M. In his paper "Groupes Proalgebriques", Serre described the properties of the category of commutative quasi-algebraic groups by introducing pro-algebraic groups. Later, Oort determined that the homological dimension of the abelian category G of commutative algebraic group schemes over an algebraically closed eld of positive characteristic is two in his book "Commutative Group Schemes". When the eld is not algebraically closed, Milne related the homological dimension of G over a perfect eld k to the cohomological dimension of the Galois group of k. Following the ideas from the above work, in the third chapter we are going to prove that the homological dimension d(M) of the abelian category M over a perfect eld k equals d + 1, where d is the cohomological dimension of the absolute Galois group of k. In particular, d(M) = 2 over a nite eld, d(M) = 3 over a totally imaginary number eld, and d(M) = d + 1 = 1 over a number eld which is not totally imaginary. For number elds which are not totally imaginary, although d(M) = 1 in general, we have d(M\otimes Z[1/2]) = 2 + 1 = 3. In the last chapter, we compare the Hom-group and 1st Yoneda Extension group between two 1-motives with torsion M and M0, with the corresponding Hom-group and 1st Yoneda Extension group between their l-adic realisations. In particular, we generalise Falting's theorem on homomorphisms of abelian varieties over nite elds (Tate Theorem in this case) and number fields to 1-motives with torsion. We show the group Ext^1_{\mathcal{M}}(M,M')\otimes Z_l injects to the group Ext^1_{\mathcal{R}}(T_lM, T_M') under the map Tl. Over finite fields, we give a very explicit description to the maps Tl for Exti groups for all i > 0. In particular, the group Ext^1_{\mathcal{M}}(M,M')\otimes Z_l injects onto the torsion subgroup of Ext^1_{\mathcal{R}}(T_lM, T_lM') under the map T_l; the group Ext^2_{\mathcal{M}}(M,M')\otimes Z_l surjects to the group Ext^2_{\mathcal{R}}(T_lM, T_lM') under the map T_l.

Nel primo capitolo introduciamo la categoria abeliana M degli 1-motivi con torsione, costruita da L. Barbieri-Viale, A. Rosenschon e M. Saito. Essa e il punto di partenza di questa tesi. Deniamo anche le realizzazioni l-adiche degli 1-motivi con torsione, e diamo descrizioni dei primi gruppi di estensione di Yoneda tra 1-motivi semplici. Il secondo capitolo e dedicato ad alcuni risultati coomologici usati nella tesi. Siamo per lo piu interessati alla coomologia di Galois, ai gruppi di coomologia continui, gruppi di estensione di Yoneda, e alcune sequenze spettrali che collegano questi tipi di gruppi. Alla ne del capitolo dimostriamo anche la noetherianita di M. Nel suo articolo \Groupes Proalgebriques, Serre descrisse le proprieta della categoria dei gruppi commutativi quasi-algebrici introducendo i gruppi pro-algebrici. Piu tardi Oort nel suo libro \Commutative Group Schemes" dimostro che la dimensione omologica della categoria abeliana (G) degli sche- mi in gruppo algebrici commutativi su un campo algebricamente chiuso di caratteristica positiva e 2. Milne lego la dimensione omologica di (G) su un 1 campo perfetto k alla dimensione coomologica del gruppo di Galois di k nel caso in cui k non sia algebricamente chiuso. Seguendo queste idee, nel terzo capitolo dimostriamo che la dimensione omologica d(M) della categoria abelianaMsu un campo perfetto k vale d+1, dove d e la dimensione coomologica del gruppo di Galois assoluto di k. In particolare, d(M) = 2 su un campo nito, d(M) = 3 su un campo di numeri totalmente immaginario, e d(M) = d+1 = 1 su un campo di numeri non totalmente mmaginario. Per campi di numeri non totalmente immaginari, sebbene in generale d(M) = 1, si ha d(M\otimes Z[1/2]) = 2 + 1 = 3. Nell'ultimo capitolo confrontiamo il gruppo Hom e il primo gruppo di estensione di Yoneda tra due 1-motivi con torsione M e M0 col corrispondente gruppo Hom e il primo gruppo di estensione di Yoneda tra le loro realizzazioni l-adiche. In particolare generalizziamo il teorema di Falting sugli omomorsmi tra varieta abeliane su campi niti (il teorema di Tate in questo caso) e campi di numeri agli 1-motivi con torsione. Mostriamo che il gruppo Ext^1_{\mathcal{M}}(M;M')\otimes Z_l si immerge nel gruppo Ext^1_{\mathcalR}(T_lM; T_lM') tramite la mappa Tl. Su campi niti diamo una descrizione esplicita delle mappe T_l per i gruppi Exti per ogni i > 0. In particolare il gruppo Ext^1_{\mathcal{M}}(M,M')\otimes Z_l si immerge nel sottogruppo di torsione di Ext^1_{\mathcal{R}}(T_lM, T_lM') tramite la mappa T_l; l'immagine di Ext^2_{\mathcal{M}}(M,M')\otimes Z_l tramite Tl e il gruppo Ext^2_{\mathcal{R}}(T_lM, T_lM').