On a generalization of affinoid varieties

In this thesis we develop the foundations for a theory of analytic geometry over a valued field, uniformly encompassing the case when the base field is equipped with a non-archimedean valuation and the case when it has an archimedean one. We will use the efficient language of bornological algebras to reach this goal. Since, at our knowledge, there is not a strong literature on bornological algebras on which we can base our results, we need to start from scratch with theory of bornological algebras and we develop it as far as we need for our scope. In this way we can construct our theory of analytic spaces taking as building blocks affinoid dagger algebras, i.e. bornological algebras isomorphic to quotients of the algebras of germs of analytic functions on polycylinders. It turns out that we can show for the category of dagger affinoid algebras the analogous of all the main results of the category of affinoid algebras and hence we obtain a good theory of dagger affinoid spaces, which behave very similarly to affinoid spaces used to construct rigid analytic spaces. We underline that the archimedean case has special features that we study in the first section of the fifth chapter, and that these special properties enable us to prove the generalization, in archimedean context, of the main result of affinoid algebras theory: the Gerritzen-Grauert theorem (we remark that our proof is inspired by the new proof of Gerritzen-Grauert theorem in Berkovich geometry given by Temkin). With a good affine theory at our disposal we end this thesis by constructing the global theory of dagger analytic spaces. We use the theory of Berkovich nets and hence a Berkovich-like approach to the globalization. In this way we obtain the category of dagger analytic spaces and we study the relations of the spaces we found with the ones already present in literature. In particular we see that our spaces are very strongly related to dagger spaces of Grosse-Klonne, and that, in the archimedean case, the category of classical complex analytic spaces embeds fully faithfully in the category of complex dagger analytic spaces. In conclusion, in this work we obtain a complete affinoid theory of dagger spaces over any valued field and we show that on this theory can be developed a good theory of dagger analytic spaces, which deserves to be strengthened in the future.

In questa tesi vengono sviluppate le basi per una teoria degli spazi analitici su campi valutati che comprende in modo uniforme il caso in cui il campo base sia archimedeo o non-archimedeo. Per raggiungere questo obiettivo useremo il linguaggio efficiente delle algebre bornologiche. Siccome non sembra essere disponibile una amplia letteratura riguardo le algebre bornologiche, le prima parte della tesi si occupa di stabilire alcuni risultati fondamentali a riguardo. Con questi risultati a disposizione, è possibile costruire una teoria degli spazi analitici prendendo come mattoni fondamentali le algebre dagger affinoidi, cioè algebre bornologiche isomorfe a quozienti delle algebre dei germi di funzioni analitiche su policilindri. Si ottiene quindi che la categoria delle algebra affinoidi dagger così definite soddisfa l'analogo di tutte le proprietà più importanti della categoria delle algebre affinoidi e che quindi otteniamo una buona teoria degli spazi affinoidi dagger che è del tutto analoga alla categoria degli spazi affinoidi usati in geometria rigida. C'è da sottolineare che il caso in cui il campo base è archimedeo ha proprietà particolari, studiate all'inizio del quinto capitolo, e che queste proprietà permettono di ottenere anche per spazi affinodi dagger archimedei il principale risultato strutturale della teoria delle algebre affinoidi: il teorema di Gerritzen-Grauert (la dimostrazione qui data di questo teorema è ispirata dalla nuova dimostrazione data da Temkin valida in geometria di Berkovich). Dopo aver ottenuto una buona teoria affine la tesi si conclude con la costruzione della teoria globale degli spazi analitici dagger. Verrà utilizzato un approccio analogo a quello usato da Berkovich per fare questo. Dopo aver definito questa nuova categoria di spazi verranno studiate le relazioni tra questi e gli spazi analitici presenti in letteratura. In particolare si vedrà che questi spazi sono fortemente legati agli spazi dagger di Grosse-Klonne e che nel caso archimedeo la categoria degli spazi analitici complessi classica si immerge in modo pienamente fedele nella categoria degli spazi analitici dagger complessi. In conclusione, in questo lavoro si ottiene una teoria affinoide completa per spazi dagger su ogni campo valutato sulla base della quale viene proposta una teoria degli spazi dagger globali la quale dovrà essere approfondita in futuro.