Profinite groups with a rational probabilistic zeta function

In this thesis, we investigate the connection between finitely generated profinite groups $G$ and the associated Dirichlet series $P_G(s)$ of which the reciprocal is called the probabilistic zeta function of $G$. In particular, we consider the conjecture of Lucchini saying that given a finitely generated profinite group $G$, the associated Dirichlet series $P_G(s)$ is rational if and only if the quotient group $G/\textrm{Frat}(G)$ is finite. Detomi and Lucchini first showed that the conjecture holds when $G$ is prosoluble. For non-prosoluble groups, they later showed that the conjecture also holds when almost every nonabelian composition factor of $G$ is an alternating group. In this thesis, we prove the conjecture in several other cases. We first show that it holds when almost every nonabelian composition factor of $G$ is isomorphic to a simple group of Lie type over a field of characteristic $p$, where $p$ is a fixed prime. When there are different characteristics, the problem becomes quite difficult and we do not have any answer yet. However, we obtain that the conjecture holds when almost every nonabelian composition factor of $G$ is $\textrm{PSL}(2,p)$ for some prime $p\geq 5$. This is also the case when we replace $\textrm{PSL}(2,p)$ by a sporadic simple group. The conjecture is still open in general and it cannot be proved by our techniques. We give some examples supporting this. Nevertheless, we also obtain a partial result by showing that the conjecture holds when almost every nonabelian composition factor is isomorphic to either $\textrm{PSL}(2,p)$ for some prime $p\geq 5$, or a sporadic simple group, or an alternating group $\textrm{Alt}(n)$ where $n$ is either a prime or a power of $2$

In questa tesi investighiamo la connessione tra un gruppo profinito finitamente generato $G$ e la serie di Dirichlet associata $P_G(s),$ la cui inversa moltiplicativa è chiamata funzione zeta probabilistica di $G$. In particolare, consideriamo la congettura di Lucchini che dice che dato un gruppo profinito finitamente generato $G$, la serie di Dirichlet associata $P_G(s)$ è razionale se e solo se il quoziente $G/\textrm{Frat}(G)$ è finito. Detomi e Lucchini hanno dimostrato la congettura nel caso prorisolubile. Per quanto riguarda i gruppi non prorisolubili, hanno dimostrato la congettura nell'ipotesi che quasi tutti i fattori non abeliani in una serie di composizione di $G$ siano di tipo alterno. In questa tesi proviamo la congettura in alcuni altri casi non considerati in precedenza. La dimostriamo in particolare nell'ipotesi che quasi tutti i fattori di composizione non abeliani siano gruppi semplici di tipo Lie su campi di caratteristica $p$, con $p$ un primo fissato. Quando la caratteristica varia il problema diventa piuttosto difficile e non abbiamo ancora risultati definitivi a riguardo. Tuttavia dimostriamo che la congettura vale se quasi ogni fattore di composizione non abeliano di $G$ è della forma $\textrm{PSL}(2,p)$ per qualche primo $p \geq 5$ (non fissato). Questo vale anche se sostituiamo $\textrm{PSL}(2,p)$ con un gruppo semplice sporadico. La congettura è in generale ancora aperta e non pùo essere dimostrata con le tecniche utilizzate in questa tesi. Infatti sono forniti degli esempi in cui le nostre tecniche non producono risultati. Nonostante questo limite, abbiamo ottenuto un risultato parziale dimostrando che la congettura vale se quasi ogni fattore di composizione non abeliano è $\textrm{PSL}(2,p)$ per qualche primo $p\geq 5$, oppure un gruppo semplice sporadico, oppure $\textrm{Alt}(n)$ dove $n$ è un primo o una potenza di $2$