Shape sensitivity analysis of the eigenvalues of polyharmonic operators and elliptic systems

In this thesis, we study the dependence of the eigenvalues of elliptic partial dierential operators upon domain perturbations in the N-dimensional space. Namely, we prove analyticity results for the eigenvalues of polyharmonic operators and elliptic systems of second order partial differential equations, and we apply them to certain shape optimization problems. On the other hand, we also prove spectral stability estimates for general elliptic systems of partial differential equations of higher order. In order to prove analyticity, we use a general technique developed by Lamberti and Lanza de Cristoforis, and we obtain Hadamard-type formulas which are used to provide a characterization of critical domains under volume constraint. As for stability estimates of the eigenvalues, we prove indeed Lipschitz continuity results with respect to the atlas distance, the Hausdor distance and the Lebesgue measure. We adapt the arguments used by Burenkov and Lamberti for elliptic operators to the case of general elliptic systems of partial differential equations. The thesis is organized as follows. Chapter 1 is dedicated to some preliminaries. In Chapter 2 we consider the biharmonic operator under different boundary conditions, namely Dirichlet, Neumann, intermediate and Steklov. For all these cases we show analytic dependence of the eigenvalues upon the domain and compute Hadamard-type formulas, which will be used to provide a characterization of critical domains for the elementary symmetric functions of the eigenvalues under volume constraint. Then we prove that balls are critical domains for such functions of the eigenvalues of all these problems under volume constraint. Regarding the Steklov problem, we also prove that the ball is a maximizer of the fundamental tone among all bounded open sets of given measure. In Chapter 3 we consider the Dirichlet eigenvalue problem for general polyharmonic operators. As in Chapter 2, we prove analyticity of the elementary symmetric functions of the eigenvalues providing Hadamard-type formulas, and we give a characterization of critical domains under volume constraint. Then we show that for all the polyharmonic operators the ball is a critical domain. Chapter 4 is devoted to the stability estimates of the eigenvalues of elliptic systems of partial differential equations with Dirichlet and Neumann boundary conditions. Adapting the arguments used by Burenkov and Lamberti for elliptic operators, we can prove estimates via the atlas distance, the lower Hausdor-Pompeiu deviation and the Lebesgue measure. In Chapter 5 we prove analyticity, Hadamard-type formulas and criticality conditions for second order elliptic systems under Dirichlet and Neumann boundary conditions. We also show that, if the system is rotation invariant, then balls are critical domains under volume constraint. Finally, in Chapter 6 we consider the Reissner-Mindlin problem for the vibration of a clamped plate. We first prove estimates similar to those of Chapter 4, which are independent of the thickness of the plate. Then we prove analyticity and Hadamard-type formulas for the elementary symmetric functions of the eigenvalues, which are used to provide a characterization of criticality. Then, after proving that the Reissner-Mindlin system is rotation invariant, we show that balls are critical domains under volume constraint.

In questa tesi, studiamo la dipendenza degli autovalori di operatori differenziali ellittici da perturbazioni del dominio nello spazio N-dimensionale. In particolare, proviamo risultati di analiticità degli autovalori di operatori poliarmonici e sistemi ellittici di equazioni alle derivate parziali del secondo ordine, e li applichiamo a problemi di ottimizzazione di forma; d'altro canto, otteniamo anche stime di stabilità spettrale per sistemi ellittici generali di equazioni alle derivate parziali di ordine superiore. Per dimostrare l'analiticità usiamo una tecnica generale sviluppata da Lamberti e Lanza de Cristoforis, e otteniamo delle formule alla Hadamard che ci permettono di fornire una caratterizzazione dei domini critici sotto il vincolo di volume. Per quanto riguarda le stime di stabilità degli autovalori, dimostriamo risultati di lipschitzianità rispetto alla distanza d'atlante, alla distanza di Hausdorff e alla misura di Lebesgue, adattando gli argomenti utilizzati da Burenkov e Lamberti per operatori ellittici al caso di sistemi ellittici generali di equazioni alle derivate parziali. La tesi e organizzata come segue. Il Capitolo 1 e dedicato ad alcuni preliminari. Nel Capitolo 2 consideriamo l'operatore biarmonico con diverse condizioni al contorno, ovvero di Dirichlet, di Neumann, intermedie e di Steklov. Per tutti questi casi mostriamo la dipendenza analitica degli autovalori dal dominio e calcoliamo formule alla Hadamard, che vengono usate per formire una caratterizzazione dei domini critici per le funzioni elementari simmetriche degli autovalori sotto il vincolo di volume; a seguire proviamo che le palle sono domini critici per tali funzioni degli autovalori di tutti questi problemi sotto il vincolo di volume. Riguardo al problema di Steklov, mostriamo anche che la palla e un massimizzatore del tono fondamentale tra tutti gli aperti limitati di misura fissata. Nel Capitolo 3 consideriamo il problema agli autovalori con condizioni di Dirichlet per gli operatori poliarmonici. Come nel Capitolo 2, dimostriamo l'analiticità delle funzioni elementari simmetriche degli autovalori fornendo formule alla Hadamard, e diamo una caratterizzazione dei domini critici sotto il vincolo di volume; a seguire mostriamo che per tutti gli operatori poliarmonici la palla e un dominio critico. Il Capitolo 4 e dedicato alle stime di stabilità degli autovalori dei sistemi ellittici di equazioni alle derivate parziali con condizioni al bordo di Dirichlet e di Neumann. Adattando gli argomenti usati da Burenkov e Lamberti per operatori ellittici siamo in grado di provare stime con la distanza d'atlante, con la deviazione inferiore di Hausdorff-Pompeiu e con la misura di Lebesgue. Nel Capitolo 5 dimostriamo analiticità, formule alla Hadamard e condizioni di criticità per sistemi ellittici del secondo ordine con condizioni al bordo di Dirichlet e di Neumann. Mostriamo anche che, se il sistema e invariante per rotazioni, allora le palle sono domini critici sotto il vincolo di volume. Infine, nel Capitolo 6 consideriamo il problema di Reissner-Mindlin per la vibrazione di una piastra incastrata. Prima dimostriamo stime simili a quelle del Capitolo 4, che non dipendono dallo spessore della piastra; poi dimostriamo l'analiticità e formule alla Hadamard per le funzioni elementari simmetriche degli autovalori, che vengono usate per fornire una caratterizzazione di criticità; a seguire, dopo aver provato che il sistema di Reissner-Mindlin e invariante per rotazioni, mostriamo che le palle sono domini critici sotto il vincolo di volume.