Monodromy Criterion for the Good Reduction of Surfaces

Let $p>3$ be a prime number and $K$ a finite extension of $\mathbb Q_p$. We consider a proper and smooth surface $X_K$ over $K$, with a semistable model $X$ over the ring of integers $O_K$ of $K$. In this thesis, we give a criterion for the good reduction of $X_K$ for the case of $K3$ surfaces, in terms of the monodromy operator in the second De Rham cohomology group $H_{DR}^2(X_K)$.\newline \indent We don't use trascendental methods nor $p$-adic Hodge Theory as in other works concerning this problem (such as [Ma14], [LM14] and [Pe14]). Instead, we first get a $p$-adic version of the Clemens-Schmid exact sequence and use it to study the degree of nilpotency of the monodromy operator $N$ on the log-crystalline cohomology group of the special fiber $X_s$ of the semistable model $X$.\newline \indent By the work of Nakkajima ([Na00]), we can assume that $X_s$ is a combinatorial $K3$ surface. Then, we prove that $X_s$ is of type I iff $N=0$; $X_s$ if of type II iff $N\neq 0, N^2=0$; $X_s$ is of type III iff $N^2 \neq 0$. In particular, this implies that $X_K$ has good reduction if and only if the monodromy operator on $H_{DR}^2(X_K)$ is zero. \newline \indent Finally, we also give some ideas on how to address the same problem for the case of Enriques surfaces. In particular, we prove that we are reduced to the case of $K3$ surfaces.

Sia $p>3$ un numero primo e $K$ un'estensione finita di $\mathbb Q_p$. Consideriamo una superficie propria e liscia $X_K$ su $K$, con un modello semistabile $X$ sull'anello degli interi algebrici $O_K$ di $K$. In questa tesi otteniamo un criterio per la buona riduzione di $X_K$ nel caso di superfici $K3$ in termini dell'operatore di monodromia sul secondo gruppo di coomologia di De Rham $H_{DR}^2(X_K)$.\newline \indent Non usiamo n\'e metodi trascendenti n\'e Teoria di Hodge $p$-adica, come si fa in altri lavori (ad esempio [Ma14], [LM14] o [Pe14]). Noi invece otteniamo una versione $p$-adica della sequenza esatta di Clemens-Schmid e l'utilizziamo per studiare l'indice di nilpotenza dell'operatore di monodromia $N$ sul secondo gruppo di coomologia log-cristallina della fibra speciale $X_s$ del modello semistabile $X$. \newline \indent Grazie al lavoro di Nakkajima ([Na00]), possiamo supporre che $X_s$ \`e una superficie $K3$ combinatoria. Dimostriamo quindi che $X_s$ \`e di tipo I se e solo se $N=0$; $X_s$ \`e di tipo II se e solo se $N\neq 0, N^2=0$; $X_s$ \`e di tipo III se e solo se $N^2 \neq 0$. Questo implica che $X_K$ ha buona riduzione se e solo se l'operatore di monodromia su $H_{DR}^2(X_K)$ \`e zero. \newline \indent Finalmente, diamo qualche idea su come affrontare lo stesso problema, per il caso di superfici di Enriques. In particolare, proviamo che si pu\`o ridurre il problema al caso di superfici $K3$.