Regularizing properties of the double layer heat potential and shape analysis of a periodic problem

This Dissertation is devoted to the study of some integral operators arising in parabolic potential theory which are relevant in order to analyze boundary value problems for the heat equation subject to a singular perturbation of the domain by exploiting a known functional analytic approach for elliptic problems,and to the analysis of some elliptic perturbation problems with a potential theoretic approach. The Dissertation is divided into two independent parts. In the first part (Chapters 1-3) we produce new results in parabolic potential theory and, in particular, we study the mapping properties of some integral operators associated with layer heat potentials, while in the second part (Chapter 4) we investigate the behavior of an elliptic boundary value problem under domain perturbation with a potential theoretic approach. The Dissertation is organized as follows. In Chapter 1 we introduce a normed class of time dependent weakly singular kernels and we prove results of joint continuity of some parabolic integral operators upon variation both of the kernel in the above class and of the density function. Moreover we apply these results to some integral operators related to layer heat potentials. In Chapter 2 we prove an explicit formula for the tangential derivatives of the double layer heat potentials and we prove a regularizing property of the integral operator associated with the double layer heat potential. In Chapter 3 we consider space-periodic layer heat potentials and we solve some periodic boundary value problems for the heat equation. Finally, Chapter 4 is devoted to the study of the behavior of the longitudinal permeability of a periodic array of cylinders upon the perturbation of the periodicity structure and of the cross sections of the cylinders. At the end of the Dissertation we have enclosed some Appendices with some results that we have exploited.

Questa Tesi è dedicata allo studio di alcuni operatori integrali della teoria del potenziale parabolica rilevanti al fine di analizzare problemi al contorno per l'equazione del calore soggetti a perturbazioni singolari del dominio con un approccio funzionale analitico già noto per i problemi ellittici, e all'applicazione di metodi di teoria del potenziale allo studio di problemi di perturbazione di tipo ellittico. La Tesi è divisa in due parti indipendenti. Nella prima parte (Capitoli 1-3) dimostriamo nuovi risultati di teoria del potenziale parabolica e, in particolare, studiamo le proprietà di alcuni operatori integrali associati ai potenziali di strato calorici, mentre nella seconda parte (Capitolo 4) investighiamo il comportamento di un problema al contorno ellittico rispetto a perturbazioni del dominio, utilizzando metodi di teoria del potenziale. La Tesi è organizzata come segue. Nel Capitolo 1 introduciamo uno spazio normato di nuclei debolmente singolari che dipendono dalla variabile temporale, e proviamo alcuni risultati di continuità per operatori integrali parabolici rispetto a variazioni sia del nucleo nella classe di cui sopra, sia della funzione densità. Nel Capitolo 2 proviamo una formula esplicita per le derivate tangenziali del potenziale di doppio strato calorico, e proviamo delle proprietà di regolarizzazione per l'operatore integrale associato al potenziale di doppio strato calorico. Nel Capitolo 3 consideriamo i potenziali di strato calorici periodici nello spazio, e risolviamo alcuni problemi al contorno periodici per l'equazione del calore. Infine, il Capitolo 4 è dedicato allo studio del comportamento della permeabilità longitudinale di un materiale periodicamente perforato rispetto a perturbazioni della struttura di periodicità e della forma dei fori. Alla fine della Tesi abbiamo incluso delle Appendici con alcuni risultati utilizzati.