This Dissertation is devoted to the study of boundary value problems and concerns two research areas. The first one is related to the perturbation analysis of boundary value problems in perforated domains and its application to the investigation of effective properties of composite materials. We investigate the dependence of the solutions of transmission boundary value problems upon some parameters and their behavior when the parameter corresponding to the size of the inclusions tends to zero, and the other parameters tend to some fixed values. Then we apply our results to study the effective conductivity of periodic composites. We also investigate the behavior of the solution of the Dirichlet problem for the Poisson equation in the domain in R3 which consists of a periodic array of cylinders upon perturbation of the shape of the cross-section of the cylinders and the periodic structure. Moreover, we apply our results to study the behavior of the longitudinal permeability of a periodic array of cylinders upon such perturbation. The second part of the Dissertation is related to the development of tools for solving boundary value problems for functions taking values in commutative Banach algebras. In particular, we investigate the properties of logarithmic residues of monogenic (continuous and differentiable in the sense of Gateau) functions and the behavior of the certain Cauchy type integral on the boundary of its definition. The Dissertation consists of two parts and is organized as follows. Part I consists of three chapters. In Chapter 1 we investigate the asymptotic behavior of the solutions of singularly perturbed (ideal and nonideal nonlinear) transmission problems in a periodically perforated domain. In Chapter 2 we apply the results of Chapter 1 to study the asymptotic behavior of the effective thermal conductivity of a periodic two-phase dilute composite. Chapter 3 is devoted to the study of the behavior of the longitudinal permeability of a periodic array of cylinders upon perturbation of the shape of the cross section of the cylinders and of the periodic structure. Part II consists of two chapters. In Chapter 4 we introduce a three-dimensional commutative algebra over C with a one-dimensional radical and study the logarithmic residues of monogenic functions in this algebra. Chapter 5 is devoted to the investigation of a certain analog of Cauchy type integral taking values in the mentioned algebra and its limiting values on the boundary of the domain of definition. At the end of the Dissertation, we have enclosed three appendices with some results which we have exploited in the Dissertation.

Questa Tesi si occupa dello studio di problemi al contorno e analizza due linee di ricerca. La prima riguarda lo studio di perturbazioni di problemi al contorno in domini perforati e la sua applicazione all'analisi delle proprieta efficaci dei materiali compositi. Studiamo la dipendenza delle soluzioni di problemi di trasmissione da alcuni parametri e il loro comportamento quando il parametro corrispondente alla dimensione delle inclusioni tende a zero e gli altri parametri tendono ad alcuni valori fissati. In seguito, applichiamo i nostri risultati allo studio della conduttivita efficace di composti periodici. Analizziamo anche il comportamento della soluzione del problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson nell'insieme di R3 che consiste in una serie periodica di cilindri in caso di perturbazione della forma della sezione trasversale dei cilindri e la struttura periodica. Inoltre, applichiamo i nostri risultati per studiare il comportamento della permeabilita longitudinale di una serie periodica di cilindri rispetto a tale perturbazione. La seconda parte della Tesi riguarda lo sviluppo di strumenti per risolvere problemi al contorno per funzioni che assumono valore in algebre di Banach commutative. In particolare, studiamo le proprieta dei residui logaritmici delle funzioni monogeniche (continue e differenziabili nel senso di Gateaux) e il comportamento di certi integrali di tipo Cauchy sulla frontiera dell'insieme di definizione. La Tesi si suddivide in due parti ed è organizzata come segue. La parte I è composta da tre capitoli. Nel capitolo 1 studiamo il comportamento asintotico delle soluzioni di problemi di trasmissione (ideale e nonideale) singolarmente perturbati in un dominio periodicamente perforato. Nel capitolo 2 applichiamo i risultati del capitolo 1 per studiare il comportamento asintotico della conduttivita termica efficace di un composto periodico a due fasi diluito. Il capitolo 3 è dedicato allo studio del comportamento della permeabilita longitudinale di una serie periodica di cilindri quando perturbiamo la forma della sezione trasversale dei cilindri e la struttura periodica. La parte II è composta da due capitoli. Nel capitolo 4 introduciamo un'algebra commutativa tridimensionale su C con un radicale unidimensionale e studiamo i residui logaritmici delle funzioni monogeniche in questa algebra. Il capitolo 5 è dedicato allo studio di un analogo dell'integrale di Cauchy che assume valore nell'algebra menzionata e dei suoi valori limite sulla frontiera del dominio di definizione. Alla fine della Tesi, abbiamo inserito tre appendici con alcuni risultati che abbiamo utilizzato nella Tesi.

Periodic and hypercomplex potentials. Properties and applications / Pukhtaievych, Roman. - (2018 Sep 30).

Periodic and hypercomplex potentials. Properties and applications

Pukhtaievych, Roman
2018

Abstract

Questa Tesi si occupa dello studio di problemi al contorno e analizza due linee di ricerca. La prima riguarda lo studio di perturbazioni di problemi al contorno in domini perforati e la sua applicazione all'analisi delle proprieta efficaci dei materiali compositi. Studiamo la dipendenza delle soluzioni di problemi di trasmissione da alcuni parametri e il loro comportamento quando il parametro corrispondente alla dimensione delle inclusioni tende a zero e gli altri parametri tendono ad alcuni valori fissati. In seguito, applichiamo i nostri risultati allo studio della conduttivita efficace di composti periodici. Analizziamo anche il comportamento della soluzione del problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson nell'insieme di R3 che consiste in una serie periodica di cilindri in caso di perturbazione della forma della sezione trasversale dei cilindri e la struttura periodica. Inoltre, applichiamo i nostri risultati per studiare il comportamento della permeabilita longitudinale di una serie periodica di cilindri rispetto a tale perturbazione. La seconda parte della Tesi riguarda lo sviluppo di strumenti per risolvere problemi al contorno per funzioni che assumono valore in algebre di Banach commutative. In particolare, studiamo le proprieta dei residui logaritmici delle funzioni monogeniche (continue e differenziabili nel senso di Gateaux) e il comportamento di certi integrali di tipo Cauchy sulla frontiera dell'insieme di definizione. La Tesi si suddivide in due parti ed è organizzata come segue. La parte I è composta da tre capitoli. Nel capitolo 1 studiamo il comportamento asintotico delle soluzioni di problemi di trasmissione (ideale e nonideale) singolarmente perturbati in un dominio periodicamente perforato. Nel capitolo 2 applichiamo i risultati del capitolo 1 per studiare il comportamento asintotico della conduttivita termica efficace di un composto periodico a due fasi diluito. Il capitolo 3 è dedicato allo studio del comportamento della permeabilita longitudinale di una serie periodica di cilindri quando perturbiamo la forma della sezione trasversale dei cilindri e la struttura periodica. La parte II è composta da due capitoli. Nel capitolo 4 introduciamo un'algebra commutativa tridimensionale su C con un radicale unidimensionale e studiamo i residui logaritmici delle funzioni monogeniche in questa algebra. Il capitolo 5 è dedicato allo studio di un analogo dell'integrale di Cauchy che assume valore nell'algebra menzionata e dei suoi valori limite sulla frontiera del dominio di definizione. Alla fine della Tesi, abbiamo inserito tre appendici con alcuni risultati che abbiamo utilizzato nella Tesi.
30-set-2018
This Dissertation is devoted to the study of boundary value problems and concerns two research areas. The first one is related to the perturbation analysis of boundary value problems in perforated domains and its application to the investigation of effective properties of composite materials. We investigate the dependence of the solutions of transmission boundary value problems upon some parameters and their behavior when the parameter corresponding to the size of the inclusions tends to zero, and the other parameters tend to some fixed values. Then we apply our results to study the effective conductivity of periodic composites. We also investigate the behavior of the solution of the Dirichlet problem for the Poisson equation in the domain in R3 which consists of a periodic array of cylinders upon perturbation of the shape of the cross-section of the cylinders and the periodic structure. Moreover, we apply our results to study the behavior of the longitudinal permeability of a periodic array of cylinders upon such perturbation. The second part of the Dissertation is related to the development of tools for solving boundary value problems for functions taking values in commutative Banach algebras. In particular, we investigate the properties of logarithmic residues of monogenic (continuous and differentiable in the sense of Gateau) functions and the behavior of the certain Cauchy type integral on the boundary of its definition. The Dissertation consists of two parts and is organized as follows. Part I consists of three chapters. In Chapter 1 we investigate the asymptotic behavior of the solutions of singularly perturbed (ideal and nonideal nonlinear) transmission problems in a periodically perforated domain. In Chapter 2 we apply the results of Chapter 1 to study the asymptotic behavior of the effective thermal conductivity of a periodic two-phase dilute composite. Chapter 3 is devoted to the study of the behavior of the longitudinal permeability of a periodic array of cylinders upon perturbation of the shape of the cross section of the cylinders and of the periodic structure. Part II consists of two chapters. In Chapter 4 we introduce a three-dimensional commutative algebra over C with a one-dimensional radical and study the logarithmic residues of monogenic functions in this algebra. Chapter 5 is devoted to the investigation of a certain analog of Cauchy type integral taking values in the mentioned algebra and its limiting values on the boundary of the domain of definition. At the end of the Dissertation, we have enclosed three appendices with some results which we have exploited in the Dissertation.
periodic boundary value problems, singularly perturbed domain, periodically perforated domain, singular perturbation, effective conductivity, longitudinal permeability, monogenic functions, commutative quaternions, commutative Banach algebra
Periodic and hypercomplex potentials. Properties and applications / Pukhtaievych, Roman. - (2018 Sep 30).
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