Selezione e stima di dipendenze multivariate: il caso della pair-copula construction con una sua applicazione in campo assicurativo

The subject of this thesis is the analysis of a recent technique, the pair-copula construction (PCC), for modeling dependence between variables of a random vector. The main property of this technique is that it allows us to build even very complex multivariate structures only using bivariate copulas with conditional cumulative distribution functions as arguments. There is a large number of such decompositions, so we use particular graphical structures (made by a sequence of trees and called regular vines) to organize them. In particular, this work has favored the use and the study of drawable vines (D-vine), that have path structure. We discuss theoretical aspects related to the simplified form of the PCC, as well as the implementation of algorithms for estimating these models. The developed models are applied to a practical problem in the insurance field. The determination of the risk capital through an internal model can be an alternative to the standard formula proposed by the new EU Directive Solvency II. We construct a multivariate dataset of real data, on which we test different structures of dependence, including several possible models of D-vine. Finally, we compare the risk based capital obtained with these models.

L'oggetto di questa tesi è l'analisi di una recente tecnica di modellizzazione della dipendenza tra le variabili di un vettore aleatorio che va sotto il nome di pair-copula construction (PCC). La peculiarità di questa tecnica è che permette di costruire strutture multivariate anche molto complesse con l'impiego esclusivo di copule bivariate semplici oppure condizionate. Per organizzare le varie decomposizioni si ricorre a delle particolari strutture grafiche dette Regular vine (R-vine), composte da una successione di alberi. In particolare in questo lavoro si è privilegiato l'impiego e lo studio dei Drawable vine (D-vine) i cui alberi hanno la particolare struttura di cammino. Sono stati discussi sia aspetti teorici legati alla forma semplificata della PCC, sia aspetti pratici come l'implementazione di algoritmi per la stima di tali modelli. I modelli studiati sono quindi stati applicati ad un problema pratico in campo assicurativo, la determinazione del capitale di rischio attraverso un possibile modello interno alternativo alla formula standard proposta dalla nuova Direttiva comunitaria Solvency II. E' stato quindi costruito un dataset di dati reali multivariati, su cui sono state testate diverse strutture di dipendenza, tra le quali diversi possibili modelli di D-vine. Sono infine stati posti a confronto i requisiti di capitale relativi così ottenuti.