On p-adic differential equations on semistable varieties

Let V be a complete discrete valuation ring of mixed characteristic (0,p), K be the fraction field and k be the residue field. We study p-adic differential equations on a semistable variety over V. We consider a proper semistable variety X over V and a relative normal crossing divisor D on it. We consider on X the open U defined by the complement of the divisor D and we call U_K and U_k the generic fiber and the special fiber respectively. In an analogous way we call D_K, X_K and D_k, X_k the generic and the special fiber of D, X. In the geometric situation described, we investigate the relations between algebraic differential equations on X_K and analytic differential equations on the rigid analytic space associated to the completion of X along its special fiber. The main result is the existence and the full faithfulness of an algebrization functor between the following categories: 1) the category of locally free overconvergent log isocrystals on the log pair (U_k,X_k), (where the log structure is defined by the divisor given by the union of X_k e D_k), with unipotent monodromy; 2) the category of modules with connection on U_K, regular along D_K, which admit an extension to modules with connection on X_K with nilpotent residue.

Sia V un anello di valutazione completo di caratteristica mista (0,p), sia K il campo delle frazioni e k il campo residuo. In questa tesi vengono studiate le equazioni differenziale p-adiche su una varieta' semistabile su V. Consideriamo una varieta' X propria e semistabile su V e un divisore D a incroci normali relativi, Denotiamo con U l'aperto di X definito dal complementare di D e indichiamo con U_K e U_k ripettivamente la fibra generica e la fibra speciale di U. Allo stesso modo chiamiamo X_K, D_K e X_k, D_k la fibra generica e la fibra speciale di X, D. In questa situazione geometrica studiamo le relazioni tra le equazioni differenziali algebriche su X_K e le equazioni differenziali analitiche definite sullo spazio analitico rigido associato al completamento di X lungo la sua fibra speciale. Il risultato principale di questa tesi e' l'esistenza e la piena fedelta' di un funtore tra le seguenti categorie: 1) la categoria dei log isocristalli localmente liberi surconvergenti definiti sulla log coppia (U_k,X_k), (dove la log e' definita dal divisore dato dall'unione di X_k e D_k), con monodromia unipotente; 2) la categoria dei moduli a connessione su U_K, regolari lungo D_K, che ammettono un' estensione a moduli a connessione su X_K con residuo nilpotente.