Rational Covariance Extension, Multivariate Spectral Estimation, and Related Moment Problems: Further Results and Applications

This dissertation concerns the problem of spectral estimation subject to moment constraints. Its scalar counterpart is well-known under the name of rational covariance extension which has been extensively studied in past decades. The classical covariance extension problem can be reformulated as a truncated trigonometric moment problem, which in general admits infinitely many solutions. In order to achieve positivity and rationality, optimization with entropy-like functionals has been exploited in the literature to select one solution with a fixed zero structure. Thus spectral zeros serve as an additional degree of freedom and in this way a complete parametrization of rational solutions with bounded degree can be obtained. New theoretical and numerical results are provided in this problem area of systems and control and are summarized in the following. First, a new algorithm for the scalar covariance extension problem formulated in terms of periodic ARMA models is given and its local convergence is demonstrated. The algorithm is formally extended for vector processes and applied to finite-interval model approximation and smoothing problems. Secondly, a general existence result is established for a multivariate spectral estimation problem formulated in a parametric fashion. Efforts are also made to attack the difficult uniqueness question and some preliminary results are obtained. Moreover, well-posedness in a special case is studied throughly, based on which a numerical continuation solver is developed with a provable convergence property. In addition, it is shown that solution to the spectral estimation problem is generally not unique in another parametric family of rational spectra that is advocated in the literature. Thirdly, the problem of image deblurring is formulated and solved in the framework of the multidimensional moment theory with a quadratic penalty as regularization.

Questa tesi riguarda il problema della stima spettrale soggetta a vincoli sui momenti. La sua controparte scalare e' ben conosciuta sotto il nome di estensione razionale delle covarianze ed e' stata ampiamente studiata negli ultimi decenni. Il classico problema di estensione delle covarianze puo' essere riformulato come un roblema dei momenti trigonometrici troncato, che in generale ammette infinite soluzioni. Al fine di ottenere positivita' e azionalita', in letteratura e' stata sfruttata l'ottimizzazione con funzionali ntropici per selezionare una soluzione con una struttura degli zeri fissa. Cosi' gli zeri spettrali fungono da grado di liberta' addizionale e permettono di ottenere una parametrizzazione completa delle soluzioni razionali con grado limitato. Nuovi risultati teorici e numerici sono forniti in questa branca della teoria dei sistemi e del controllo e sono riassunti di seguito. Innanzitutto si propone un nuovo algoritmo per il problema scalare dell'estensione delle covarianze formulato in termini di modelli ARMA periodici e se ne dimostra la convergenza locale. L'algoritmo e' esteso formalmente ai processi vettoriali e applicato ai problemi di approssimazione dei modelli a intervallo finito e di livellamento. In secondo luogo viene stabilito un risultato di esistenza generale per un problema di stima spettrale multivariata formulato in modo parametrico. Si fanno anche sforzi per attaccare la difficile questione dell'unicita' e si ottengono alcuni risultati preliminari. Inoltre, in un caso speciale e' studiata a fondo la buona posizione del problema, in base alla quale e' sviluppato un risolutore a continuazione numerica con convergenza dimostrabile. Per di piu', si dimostra che la soluzione al problema della stima spettrale in generale non e' unica in un'altra famiglia parametrica di spettri razionali proposta in letteratura. In terzo luogo, il problema del deblurring delle immagini e' formulato e risolto nel quadro della teoria multidimensionale dei momenti con una regolarizzazione a penalita' quadratica.