Typicality, Fluctuations and Quantum Dynamics: Statistical Mechanics of Quantum Systems

Recently, the possibility of investigating single molecule, or single spin observables, as well as the necessity of a better understanding of the mechanisms underlying quantum dynamics in order to obtain nanoscale devices and nanostructered materials suitable for quantum computing tasks, have revived the interest in foundational aspects of quantum statistical mechanics. This thesis aims to give a contribution to this field by re-considering the statistical characterization of a quantum system at the light of some paradigmatic changes in our understanding of quantum theory which have taken place in the last two decades. In particular the impressive development of quantum information theory has changed the perceptions of quantum entanglement: for a long time it has been considered a somewhat paradoxical property of the matter at the atomic scale, but now it is regarded as an essential and ubiquitous phenomenon whose consequences are affecting the very macroscopic world that we experience. Still the decoherence program has brought out the importance of considering a quantum system together with its environment in order to clarify some key aspects of quantum dynamics. Thus, we start from the idea that quantum correlations are ubiquitous and somewhat uncontrollable in systems with many degrees of freedom which are typically considered in statistical mechanics. As a consequence we assume the standpoint that quantum statistical mechanics has not to be based on the underlying idea of a collection of many, independent quantum systems but rather it has to emerge at the level of a global wavefunction (pure state) which describes the system as well as its environment as a whole. In order to investigate the consequences of these assumptions we study the equilibrium distribution of an isolated quantum system. This is defined, in analogy with the ergodic foundations of classical statistical mechanics, on the basis of the time evolution of the quantum state. Then, we study the emergence of thermodynamic properties in a quantum system by studying the probability distribution of some function of interests, as the entropy and the equilibrium state of a subsystem, on Ensembles of Pure States. Such a probability distribution is derived from the geometry of the Hilbert space, and the theoretical tools suitable for its characterization are developed. On the one hand we perform a numerical sampling of the ensemble distributions by employing Monte Carlo techniques, on the other hand simpler analytical approximation of the geometrical distributions are derived by means of a maximum entropy principle. Model systems composed of an ensemble of spins are chosen to illustrate the salient features which emerge from the developed theoretical framework: the main point is that the Ensemble Distributions of “thermodynamic observables” (entropy or equilibrium state of a subsystem) are sharply peaked around a typical value. From the analysis it emerges that each of the overwhelming majority of the wavefunctions which has appreciable weight in the considered ensemble, is characterized by the same value of the “macroscopic” functions. This is a striking evidence of the “typicality” of these properties. In the essence, our impossibility to know the state of the system in detail does not matter, just for the remarkable fact that almost all quantum states behave essentially in the same way. By virtue of this typicality the study of the behaviour of the typical values of the thermodynamic function become meaningful. Notably, under certain conditions, one recovers the results of standard statistical mechanics, that is, the equilibrium average of the state of a subsystem can be cast in the Boltzmann canonical form at the temperature given by the usual thermodynamical relation . In the second part of the thesis we consider the dynamical aspects of the equilibrium state of a subsystem interacting with its environment. The fluctuations around the equilibrium average critically depends on the entanglement between the system and the environment and on the form of the interaction Hamiltonian. The connection between the dynamics of the fluctuations of an observable at the equilibrium and the relaxation toward the equilibrium from a “non typical” initial value is also investigated with the aid of simple model systems. The study presented in this thesis was partly motivated by a critical analysis of the statistical methods available for the theoretical modelling of magnetic resonance experiments. One of these, the Stochastic Liouville Equation, has been employed in a work completed during the first year of my Ph.D. program in order to interpret some feature of a two dimensional electron spin resonance experiment, [Fresch B., Frezzato D., Moro G. J., Kothe G., Freed J. H.; J. Phys. Chem. B., 110, 24238, (2006)].

Nuove tecnologie hanno reso possibile lo studio spettroscopico di proprietà di singola molecola e di singolo spin, inoltre, gli avanzamenti nel campo delle nanotecnologie, mettono costantemente alla prova la nostra comprensione dei meccanismi che governano la dinamica a livello quantistico. Questi recenti sviluppi stanno rinnovando l’interesse intorno a questioni fondamentali non pienamente comprese e risolte; una di queste questioni riguarda i fondamenti della meccanica statistica quantistica. Lo scopo della presente tesi è quello di dare un contributo in questo affascinante campo, alla luce degli importanti cambiamenti avvenuti negli ultimi vent’ anni nella nostra comprensione della meccanica quantistica. In particolare gli studi condotti nell’ambito della teoria dell’informazione hanno profondamente modificato la nostra percezione dell’ entanglement quantistico. Questo è stato per lungo tempo considerato una proprietà quasi paradossale della materia su scala atomica mentre oggi è ritenuto un fenomeno essenziale e onnipresente importante per comprendere l’emergere del mondo macroscopico così come lo conosciamo. Inoltre, la formulazione e lo sviluppo del cosiddetto “decoherence program” ha introdotto un nuovo paradigma nella descrizione dell’evoluzione temporale dei sistemi quantistici riconoscendo il ruolo fondamentale dell’interazione con l’ambiente nel determinare aspetti essenziali della dinamica. Assumendo una prospettiva in linea con questi progressi, in questa tesi si parte dall’idea che la correlazione quantistica, l’entanglement, non possa essere ignorata nel derivare una descrizione statistica coerente dei sistemi complessi tradizionalmente considerati in meccanica statistica. La logica conseguenza di questo punto di vista è che la meccanica statistica quantistica non possa essere basata sull’idea dell’esistenza di insiemi di sistemi quantistici fra loro indipendenti, ma al contrario debba emergere dalla descrizione in termini di una singola funzione d’onda (stato puro) che descrive il sistema nella sua globalità, i.e. il sottosistema di interesse insieme con il suo ambiente (“environment”). Allo scopo di costruire tale descrizione, in questa tesi si considera in primo luogo la distribuzione di probabilità che descrive lo stato di equilibrio di un sistema quantistico isolato. Essa è definita, in analogia con la teoria ergodica classica, sulla base dell’evoluzione temporale del sistema. Per studiare l’emergere delle proprietà termodinamiche si introducono poi distribuzioni di probabilità su insiemi di stati puri (“Ensemble Distributions”). Tali distribuzioni sono derivate sulla base della geometria dello spazio di Hilbert che descrive il sistema nella sua interezza. Inoltre si sono sviluppati gli strumenti teorici che permettono la caratterizzazione di tali distribuzioni di probabilità: essi consistono da un lato nell’implementazione di metodi numerici di tipo Monte Carlo che permettono il campionamento statistico diretto delle distribuzioni, d’altro canto sono state sviluppate approssimazioni analitiche delle distribuzioni sulla base del principio di massima entropia. I risultati fondamentali che emergono dal quadro teorico sviluppato sono illustrati mediante lo studio della statistica in sistemi di spin: il messaggio fondamentale è che le funzioni termodinamiche, come l’entropia del sistema globale e lo stato di equilibrio di un sottosistema, sono caratterizzate da distribuzioni sull’ ensemble che risultano molto concentrate intorno ad un valore tipico. Dall’analisi condotta si deduce quindi che ognuno dei singoli stati puri considerati nell’insieme è caratterizzato dallo stesso valore delle funzioni termodinamiche studiate. Questa è una chiara evidenza della proprietà di tipicalità, (“typicality”), di queste funzioni. L’essenza di questo risultato è che la nostra incapacità di conoscere i dettagli dello stato quantistico del sistema non è così importante dal momento che la grande maggioranza dei possibili stati che appartengono all’insieme considerato sono caratterizzati dallo stesso valore delle proprietà termodinamiche alle quali siamo interessati. In virtù di tale proprietà risulta sensato studiare gli andamenti dei valori tipici delle proprietà termodinamiche. Sotto certe condizioni si ritrovano i risultati della meccanica statistica standard: in particolare lo stato di equilibrio di un sottosistema risulta essere in media lo stato canonico di Boltzmann alla temperatura definita dall’usuale relazione termodinamica . Nella seconda parte della tesi, invece, si illustra la dinamica associata allo stato di equilibrio di un sistema in interazione con il suo ambiente. Le caratteristiche delle fluttuazioni intorno ai valori medi di equilibrio dipendono sia dall’entanglement tra il sistema e l’ambiente che dal tipo di interazione considerato. Per finire si considera la connessione fra la dinamica delle fluttuazioni all’equilibrio e i processi di rilassamento da uno stato iniziale di non equilibrio. Il lavoro presentato in questa tesi è stato in parte motivato da un analisi critica dei metodi stocastici utilizzati nella modellizzazione teorica delle spettroscopie magnetiche. Durante il primo anno di dottorato tali metodologie sono state impiegate per l’interpretazione di alcune osservabili in esperimenti di risonanza magnetica elettronica bidimensionale. [Fresch B., Frezzato D., Moro G. J., Kothe G., Freed J. H.; J. Phys. Chem. B., 110, 24238, (2006)].