On the spectral stability of polyharmonic operators on singularly perturbed domains

In this thesis, we analyse the spectral convergence properties of higher order elliptic differential operators subject to singular domain perturbations and non-Dirichlet boundary conditions, with special attention to polyharmonic operators. We identify suitable conditions on the shape of the initial domain, on the shape of the perturbed domains, and on the geometry of the perturbation in order to assure the spectral stability. We find the limiting differential problem depending on the type of domain perturbation and the geometrical parameters governing the shape deformation of the initial domain. We prove that, under suitable conditions, the eigenvalues and the eigenprojections of the given differential operator in the perturbed domain converge to the eigenvalues and the eigenprojections of the limiting differential operator in the unperturbed domain. Finally, we prove convergence of the resolvent operators in the framework of the compact convergence of linear operators in Hilbert spaces. More specifically, we first analyse the spectral convergence of a family of higher order self-adjoint elliptic operators subject to intermediate boundary conditions on perturbed domains defined locally by the hypographs of given functions. We prove a spectral stability theorem for this family of operators under the assumption that the convergence of the functions describing the boundary of the domain is sufficiently regular. Then we apply the theorem to study the spectral behaviour of polyharmonic operators with intermediate boundary conditions when the boundary of the domain undergoes a perturbation of oscillatory type, by adapting techniques introduced by J.M. Arrieta and P.D. Lamberti for the biharmonic operator. We prove that the limiting differential problem depends on the ratio between the amplitude and the period of the oscillation. Indeed there is a critical threshold above which there is spectral stability; that is, the eigenvalues and the eigenprojections of the perturbed problem converge to the corresponding eigenvalues and eigenprojections of the same differential problem in the limiting domain. Instead, under that threshold there is a different behaviour depending on the order of the polyharmonic operator and on the type of intermediate boundary conditions imposed at the boundary. If the ratio assumes exactly the critical value, then the limiting differential problem exhibits a strange boundary condition, which is characterized in terms of an auxiliary function satisfying a suitable differential problem. In order to treat this critical case we use homogenization techniques and macroscopic-microscopic decompositions, inspired by arguments used by J. Casado-Diaz and collaborators. Then we consider the biharmonic operator and the Reissner-Mindlin operator subject to homogeneous boundary conditions of Neumann type on a planar dumbbell domain which consists of two disjoint domains connected by a thin channel. We analyse the spectral behaviour of the operator, characterizing the limit of the eigenvalues and of the eigenprojections as the thickness of the channel goes to zero, in the spirit of the articles by J.M. Arrieta and collaborators for the Neumann Laplacian. In applications to linear elasticity, the operators under consideration are related to the deformation of a free elastic plate, a part of which shrinks to a segment. In contrast to the classical case of the Laplace operator, it turns out that the limiting equation is here distorted by a strange factor depending on a parameter which plays the role of the Poisson coefficient of the represented plate.

In questa tesi si studia la dipendenza degli autovalori di operatori differenziali ellittici di ordine superiore da perturbazioni singolari del dominio, con attenzione per gli operatori poliarmonici e per condizioni al bordo di tipo intermedio e Neumann. Si identificano opportune condizioni geometriche sul dominio iniziale, sui domini perturbati e sulla perturbazione al fine di assicurare la stabilità spettrale. Si caratterizzano i problemi differenziali limite, al variare dei parametri che regolano la deformazione del dominio iniziale. Si dimostra che, assumendo opportune ipotesi, gli autovalori e le proiezioni sugli autospazi associati al problema differenziale nel dominio perturbato convergono ai rispettivi autovalori e proiezioni associati al problema limite nel dominio iniziale. Inoltre si dimostra che i risolventi convergono compattamente al risolvente associato al problema limite. In particolare, si analizza dapprima la convergenza spettrale di una famiglia di operatori autoaggiunti, ellittici, di ordine superiore, con condizioni al bordo di tipo intermedio, su domini perturbati definiti localmente dal sottografico di date funzioni. Si dimostra un teorema di stabilità spettrale assumendo che la convergenza delle funzioni che rappresentano localmente la frontiera convergano in modo sufficientemente regolare. Si utilizza poi tale risultato per studiare il comportamento spettrale di operatori poliarmonici con condizioni al bordo di tipo intermedio quando la frontiera del dominio è soggetta ad una oscillazione periodica e singolare, adattando delle tecniche utilizzate da J.M. Arrieta e P.D. Lamberti nel caso dell'operatore biarmonico. Si dimostra che il problema limite dipende dal rapporto tra l'ampiezza dell'oscillazione e il periodo di oscillazione. Infatti esiste un valore limite per questo rapporto al di sopra del quale si ha stabilità spettrale, cioè gli autovalori e le proiezioni sugli autospazi associati alla famiglia di domini perturbati convergono ai corrispondenti autovalori e proiezioni associati allo stesso operatore differenziale nel dominio limite; al di sotto di tale valore critico invece l'operatore differenziale limite è differente, in quanto assume condizioni al bordo diverse sulla frontiera del dominio limite. Infine se il rapporto assume esattamente il valore critico, appare un `termine strano' in una delle condizioni al bordo associate al problema limite, che è stato caratterizzato in funzione della soluzione di un dato problema al bordo ausiliario. In questo caso limite si sfruttano tecniche dimostrative tipiche dell'omogeneizzazione periodica, come il metodo di `unfolding' e le decomposizioni micro-macroscopiche delle funzioni di Sobolev, presenti, ad esempio, in alcuni articoli di J. Casado-Diaz e collaboratori. Nel piano euclideo si considerano inoltre l'operatore biarmonico e l'operatore associato al sistema di Reissner-Mindlin, con condizioni al bordo di tipo Neumann, su un dominio `a bilanciere', che consiste di due domini regolari, limitati e disgiunti, collegati attraverso un canale sottile. Si analizza il comportamento limite dello spettro degli operatori e si caratterizza il limite degli autovalori e delle proiezioni sugli autospazi quando la larghezza del canale diminuisce fino ad annullarsi, adattando tecniche introdotte da J.M. Arrieta e collaboratori per l'operatore di Laplace con condizioni al bordo di tipo Neumann. Nelle applicazioni alla teoria dell'elasticità lineare, gli operatori in considerazione sono collegati alla deformazione di una piastra elastica, di materiale omogeneo e non vincolata, dovuta alla degenerazione di una delle sue dimensioni. In contrasto con il caso dell'operatore di Laplace, l'equazione limite risulta distorta da un coefficiente strano, che dipende dal coefficiente di Poisson della piastra modellizzata.