Topics on Geometric Integration

In many different engineering branches, computer-based simulations for analyzing systems’ behavior hold a growing importance for the development of new products and new technical solutions. Pursuing this aim requires two stages: building a mathematical model of the system and solving it employing a computer. Algorithms for calculating the numerical solution of differential equations, called numerical integrators, become thus extremely decisive as they influence the reliability of the simulation results. Many dynamical systems exhibit properties that are preserved by the flow, e.g., energy conservation, symmetry, momentum, symplecticity, configuration manifold. A conventional numerical integrator approximates the flow of the continuous-time equations using only the information about the vector field, ignoring the physical laws and the properties of the original trajectory. In this way, small inaccuracies accumulated over long times will significantly diminish the operational lifespan of such discrete solutions. Geometric integrators, on the other hand, are built in a way that preserve the structure of continuous dynamics, so maintaining the qualitative behavior of the exact flow even for long-time integrations. In this thesis, two different issues related to geometric integration are investigated. The first one describes the design of a numerical test which can be employed to assess in a easy way the long-time behavior of a rigid body integrator, in terms of energy preservation. The second one presents a straightforward approach to use off-the-shelf Lie methods for the integration of Hamiltonian systems evolving on a product of two spheres. - A numerical test of long-time stability for rigid body integrators The continuous-time flow of a Hamiltonian system (like a rigid body immersed in a static potential field) is symplectic, that is, it preserves the symplectic form. If the chosen integration method is symplectic or conjugate-symplectic then backward error analysis can be used to prove that (under some technical conditions) the method has an excellent long-time behavior. Moreover, symplecticity is often regarded as a key property for the preservation of the structure and the properties of the continuous-time flow. A large number of geometric algorithms for time integration of rigid body rotational dynamics have been proposed in the last 30 years. Some of these algorithms preserve by construction the canonical symplectic form, and therefore their good long-time behavior is assured from backward error analysis. Some other algorithms have been obtained approximating the continuous-time dynamics using ad hoc methodologies, with the declared aim of obtaining computationally fast algorithms with small error constant. In this latter case, the long-time behavior has been assessed using numerical experiments on a series of test cases, monitoring the behavior of the energy and known first integrals, but without any guarantee of good performance over long-time in a generic situation. Our contribution in this context is to propose a simple numerical test that has shown to be able to spot an energy drift in many rigid body algorithms that were reported in the literature to possess good energy behavior over long-time. The test consists in integrating the rotation dynamics of a rigid body in a suitable static field which is the sum of a bounded and an unbounded attractive terms. The presence of an energy drift implies that the energy error is not bounded over exponentially long times, and this allows us to conclude that these methods are not symplectic neither conjugate-symplectic. Among them, we cite the Lie-Newmark family of methods, whose flat space counterpart is instead known to be conjugate-symplectic. - Lie methods for integration of dynamical systems on two-spheres The two-sphere S^2 is defined as the set of all points in R^3 which have a unit length from the origin. Many classical and important dynamical systems evolve on two-sphere or on a product of two-spheres. In these cases, the configuration is usually described using 2 angles or a constraint enforcing unit length (on €(S^2)^Šn, 2n angles or n constraints); these representations should be however avoided, since they yield additional complexity in the computation. The geometric approach to this problem exploits the fact that the special orthogonal Lie group of rotation matrices SO(3) acts transitively on the two-sphere; in this way, it is assured that the discrete trajectory belongs to the configuration space at any time without enforcing any constraints. One can therefore move the problem to the group space, searching for the trajectory in SO(3) that, through the group action, generates the flow in S2. Our contribution to this issue consists in a simple and straightforward method to adapt off-the-shelf Lie methods to solve for the dynamics of a system whose configuration space is the product of two-spheres. This approach is based on the Euler-Lagrange equations written on two-sphere, and has been tested on several significative numerical examples, proving to be accurate and computationally efficient. The biggest advantage of the proposed approach is represented by the possibility of effortlessly employing well-known Lie group methods, thus easily obtaining a high-order accuracy in the integration.

In molti campi di ricerca, l’importanza di simulare al calcolatore il comportamento di sistemi dinamici diventa cruciale nello sviluppo e nel test di nuovi prodotti o soluzioni tecniche. A questo proposito si rende necessario avere un modello matematico del sistema di interesse e risolvere le equazioni della dinamica utilizzando un computer. La scelta dei metodi che consentono di calcolare la soluzione numerica di equazioni differenziali, detti integratori numerici, diventa quindi determinante, influenzando l’affidabilità dei risultati delle simulazioni. Una gran parte dei sistemi dinamici possiede proprietà che vengono preservate dal flusso, come ad esempio la conservazione dell’energia, la simmetria, le mappe dei momenti, la simpletticità, lo spazio delle configurazioni. Un metodo numerico generico genera un’approssimazione del flusso a tempo continuo usando solo l’informazione contenuta nelle equazioni della dinamica, tralasciando le leggi fisiche e le proprietà della traiettoria originale. In questo modo, l’accumularsi degli errori rende inaffidabile la soluzione numerica discreta generata da una simulazione di lungo periodo. Al contrario gli integratori geometrici sono pensati in modo da preservare la struttura della dinamica a tempo continuo, mantenendo così le proprietà del flusso esatto anche per simulazioni molto lunghe. Questa tesi affronta due differenti problemi, entrambi annessi al campo dell’integrazione geometrica. Nella prima parte viene descritto un test numerico che consente di verificare facilmente il comportamento energetico a lungo termine degli integratori del corpo rigido. Nella seconda parte viene presentato un approccio che consente di utilizzare metodi numerici per gruppi di Lie per l’integrazione di sistemi dinamici il cui spazio delle configurazioni è un prodotto di sfere unitarie. Stabilità a lungo termine per gli integratori del corpo rigido Il flusso a tempo continuo di un sistema hamiltoniano (quale, ad esempio, un corpo rigido immerso in un campo potenziale statico) è simplettico, ovvero preserva la forma simplettica. Se anche il metodo numerico impiegato per l’integrazione della dinamica è simplettico o coniugato-simplettico, si può dimostrare che (dimostrato che valgono alcune condizioni tecniche) l’algoritmo dimostra una performance eccellente per simulazioni a lungo termine; più precisamente, l’errore sull’energia totale rimane limitato per tempi esponenzialmente lunghi. Inoltre, una buona parte della letteratura vede nella simpletticità una proprietà chiave per la conservazione della struttura e delle caratteristiche del flusso a tempo continuo. Negli ultimi 30 anni, un gran numero di metodi numerici per l’integrazione della dinamica rotazionale del corpo rigido è stato proposto in letteratura. Di essi, una parte è simplettica per costruzione, e ciò ne garantisce un ottimo comportamento per simulazioni a lungo termine. Altri algoritmi sono invece stati costruiti usando metodologie ad hoc, con lo scopo di ottenere un metodo computazionalmente veloce e accurato. Per questi ultimi, l’analisi della soluzione per tempi lunghi è stata condotta mediante esperimenti numerici, monitorando il comportamento dell’energia e degli integrali del moto; in questo caso, tuttavia, non si ha nessuna garanzia sul buon comportamento del metodo per simulazioni a lungo termine in un caso generale. In questo contesto, abbiamo costruito un test numerico che ha dimostrato di evidenziare drift energetici in algoritmi che, in esperimenti precedenti, avevano mostrato un buon comportamento per simulazioni di lungo periodo. Il test consiste nell’integrare la dinamica di un corpo rigido immerso in un potenziale statico somma di due termini attrattivi, uno limitato e uno illimitato. La presenza di un drift nell’energia assicura che l’errore non rimanga limitato per tempi esponenzialmente lunghi, e ciò ci consente di concludere che gli algoritmi da noi testati non sono simplettici nè coniugato-simplettici. È degno di nota il fatto che il nostro test ha permesso di escludere la natura simplettica (e anche coniugato-simplettica) dei ben noti algoritmi di Lie-Newmark, apparsi in letteratura più di 20 anni fa. - Integrazione con metodi di Lie della dinamica di sistemi su sfere unitarie La sfera unitaria S^2 è definita come l’insieme di tutti i punti in R^3 che hanno distanza unitaria dall’origine. Molti sistemi dinamici classici evolvono sulla sfera unitaria o sul prodotto di sfere unitarie. In questi casi, la configurazione è solitamente descritta usando 2 angoli o un vincolo che impone lunghezza unitaria (più in generale, 2n angoli e n vincoli); rappresentazioni di questo tipo aggiungono però complessità ai calcoli, ed andrebbero pertanto evitate. L’approccio geometrico, che garantisce senza l’imposizione di vincoli che ogni punto della traiettoria discreta appartenga alla sfera unitaria, sfrutta il fatto che il gruppo speciale ortogonale di Lie delle matrici di rotazione SO(3) agisce transitivamente sulla sfera unitaria. Ciò suggerisce di spostare il problema nello spazio dell’azione, cercando in SO(3) la traiettoria che genera la soluzione del sistema in S^2. Il nostro contributo in questo ambito consiste in un metodo semplice e diretto per adattare metodi di Lie alla risoluzione della dinamica di sistemi il cui spazio delle configurazioni è un prodotto di sfere unitarie. Tale approccio si basa sulle equazioni del moto di Eulero-Lagrange scritte sulla sfera di raggio unitario, ed è stato ampiamente testato in molti esempi numerici di interesse pratico e scientifico, mostrandosi accurato e computazionalmente efficiente. Il principale vantaggio offerto da questa soluzione è rappresentato dal poter sfruttare senza sforzi addizionali metodi numerici già studiati in letteratura per l’integrazione su gruppi di Lie, arrivando così ad ottenere facilmente un ordine di accuratezza anche molto alto.