Four essays in between Probability Theory and Financial Mathematics

The following PhD Thesis consists of four chapters, corresponding to four different papers, which have been the core of my research activity during the Ph.D. Three out of four projects are the natural continuation of what I have been investigating during my Bachelor and Master’s studies. The first couple of projects deals with mean field and McKean-Vlasov games. Indeed, in the first we study a discrete N-player game and its mean-field limit where the underlying notion of equilibrium is the one of correlated equilibrium. The second work develops an application of McKean Vlasov games to model the interaction between a producer and a consumer acting as speculators in commodity markets. The second couple of projects deals with volatility modellisation in financial models. In the third project, we present an application of functional quantization, a discretisation technique for stochastic processes, to rough volatility models with pricing purposes: in particular, we focus on pricing options on VIX and realised volatility. In the last project, we develop a detailed theoretical analysis of a path dependent volatility model that was recently introduced by Guyon.

La seguente tesi di Dottorato consiste in quattro capitoli, corrispondenti a quattro diversi articoli che hanno costituito il fulcro della mia attività di ricerca durante il Ph.D. Tre dei quattro progetti sono il naturale proseguimento di quanto ho indagato durante gli studi magistrali e triennali. I primi due progetti trattano le tematiche dei giochi a campo medio e dei giochi di tipo McKean-Vlasov. In particolare, nel primo lavoro studiamo un gioco discreto ad N giocatori, per cui la nozione di equilibrio sottostante è quella di equilibrio correlato, e il suo limite di campo medio. Il secondo lavoro sviluppa un’applicazione dei giochi di tipo McKean-Vlasov ad un modello per lo studio dell’interazione tra un produttore e un consumatore che agiscono come speculatori nel mercato delle commodities. Gli ultimi due progetti vertono sullo studio della modellizzazione della volatilità nei modelli finanziari. Nel terzo capitolo, presentiamo un’applicazione della quantizzazione funzionale, una tecnica di discretizzazione per processi stocastici, ai cosiddetti modelli a volatilità rough con finalità di pricing: in particolare, ci focalizziamo sul prezzaggio di opzioni sul VIX e sulla volatilità realizzata. Nell’ultimo progetto, sviluppiamo uno studio teorico dettagliato di un modello a volatilità non Markoviana che è stato recentemente introdotto da Guyon.