Alcuni nuovi risultati di regolarità per curve di lunghezza minima in geometria sub-Riemanniana

After having introduced the main topics of sub-Riemannian geometry, we prove Goh conditions of order n for strictly singular length minimizing curves of corank 1, under the assumption that the lower order intrinsic differentials of the end-point map vanish. This result relies upon the proof of an open mapping theorem for maps with non-singular nth differential. We also show that in analytic sub-Riemannian manifolds of rank 2 satisfying a technical commutativity condition spiral-like curves are not length minimizing near the center of the spiral. The proof relies upon the delicate construction of a competing curve.

Dopo aver introdotto gli argomenti principali della geometria sub-Riemanniana, dimostriamo che, nell'ipotesi che i differenziali intrinseci di ordine inferiore della mappa di punto finale siano nulli, ogni curva strettamente abnormale di lunghezza minima e di corango 1 soddisfa le condizioni di Goh di ordine n. Questo risultato si basa sulla dimostrazione di un teorema di mappa aperta per mappe con differenziale n-esimo non singolare. Mostriamo anche che nelle varietà analitiche sub-Riemanniane di rango 2 che soddisfano una condizione tecnica di commutatività, le curve spiraliformi non minimizzano la lunghezza vicino al centro della spirale. La dimostrazione si basa sulla delicata costruzione di una curva concorrente.