Four Essays in Financial Mathematics

The first Chapter of the Thesis presents a general and abstract framework for the analysis of mean-variance portfolio optimization problems. Under a minimal no-arbitrage condition, we consider a whole range of quadratic optimization problems, which are solved in a unified way. We give general and model-independent characterizations of the optimal solutions as well as abstract generalizations of classical results from financial economics such as two-fund separation results, mean-variance efficiency and a CAPM-type formula. Finally, we apply our general results to the valuation of contingent claims according to several mean-variance indifference valuation rules. The second Chapter considers a general reduced-form credit risk model, where the default time is modeled as a doubly stochastic random time with default intensity driven by a diffusion affine process. We characterize the family of all locally equivalent probability measures which preserve the affine structure of the model by giving necessary and sufficient conditions on their density process. We illustrate the usefulness of our results first in the context of a jump-to-default extension of the popular Heston (1993) stochastic volatility model and then in the context of a more general hybrid equity/credit risk multifactor model, providing applications of interest in view of risk management as well as pricing purposes. The third Chapter deals with general diffusion-based models and shows that, even in the absence of an Equivalent Local Martingale Measure, the financial market may still be viable, in the sense that strong forms of arbitrage are ruled out. Relying partly on the recent literature, we provide necessary and sufficient conditions for market viability in terms of the market price of risk process and martingale deflators. Regardless of the existence of a martingale measure, we show that the financial market may still be complete and contingent claims can be valued under the original (real-world) probability measure, provided we use as numéraire the Growth-Optimal Portfolio. Finally, the fourth Chapter deals with no-arbitrage conditions which are weaker than the classical \No Free Lunch with Vanishing Risk (NFLVR) criterion, providing necessary and sufficient conditions for their validity in terms of the characteristics of the discounted price process. We study the stability of weak no-arbitrage conditions with respect to changes of numéraire, absolutely continuous changes of the reference probability measure and restrictions/enlargements of the reference filtration. In particular, we prove that weak no-arbitrage conditions, unlike the classical No Arbitrage (NA) and NFLVR criteria, are in general robust with respect to these changes. Finally, we provide a general characterization of attainable contingent claims and market completeness without relying on the NFLVR condition.

Il primo Capitolo di questa Tesi contiene un approccio generale e astratto a problemi di ottimizzazione di portafoglio secondo un criterio media-varianza. In particolare, vengono studiati e risolti congiuntamente diversi problemi di ottimizzazione in media-varianza, assumendo unicamente una condizione minimale di non-arbitraggio. Le soluzioni ottime a tali problemi vengono descritte esplicitamente, senza alcuna ipotesi sulle caratteristiche del modello sottostante. Inoltre, vengono presentate generalizzazioni di risultati classici dell'economia finanziaria, come il teorema di separazione in due fondi, la frontiera efficiente media-varianza e una formula di tipo CAPM. Infine, i risultati generali ottenuti vengono applicati alla valutazione di strumenti finanziari. Il secondo Capitolo è dedicato allo studio di un modello generale a forma ridotta per il rischio di credito, in cui il tempo di fallimento viene modellizzato come un tempo aleatorio doppiamente stocastico la cui intensità è funzione di un processo diffusivo di tipo affine. Si ottiene una caratterizzazione completa della famiglia di tutte le misure di probabilità localmente equivalenti che preservano la struttura affine del modello, formulando condizioni necessarie e sufficienti sul processo densità. L'utilità di questi risultati generali viene illustrata prima nel contesto di un modello a volatilità stocastica di Heston (1993) con l'aggiunta di un possibile fallimento e succesivamente nel contesto di un modello multi-fattoriale più generale che consente di modellizzare congiuntamente il rischio di credito e il rischio di mercato. Si considerano applicazioni di interesse per la valutazione di strumenti derivati come anche per il risk management. Il terzo Capitolo è dedicato allo studio di modelli basati su processi diffusivi. In particolare, viene mostrato che, anche in assenza di una Misura Martingala Locale Equivalente, il mercato finanziario può essere privo di forme forti di arbitraggio. Basandoci in parte sulla letteratura recente, vengono fornite condizioni necessarie e sufficienti per l'assenza di forme forti di arbitraggio. Tali condizioni coinvolgono il prezzo di mercato del rischio e processi martingale deflator. Indipendentemente dall'esistenza di una misura martingala, si dimostra che il mercato finanziario può essere completo e strumenti derivati possono essere valutati rispetto alla misura di probabilità del mondo reale, utilizzando come numéraire il Growth-Optimal Portfolio. Infine, il quarto Capitolo contiene uno studio delle condizioni di non-arbitraggio più deboli del classico criterio No Free Lunch with Vanishing Risk (NFLVR). Vengono fornite condizioni necessarie e sufficienti per la validità di tali condizioni deboli di non-arbitraggio, espresse rispetto alle caratteristiche del processo che rappresenta il prezzo scontato degli asset. Viene anche studiata la stabilità delle condizioni deboli di non-arbitraggio rispetto a cambiamenti di numéraire, cambiamenti assolutamente continui della misura di probabilità di riferimento e restrizioni/allargamenti della filtrazione di riferimento. In particolare, si dimostra che le condizioni deboli di non-arbitraggio considerate nel presente lavoro godono di buone proprietà di stabilità, al contrario di quanto accade per le classiche condizioni di Non Arbitraggio (NA) e NFLVR. Infine, presentiamo una caratterizzazione generale dei titoli finanziari che possono essere replicati, dimostrando che il mercato finanziario può essere completo anche in assenza della condizione NFLVR.