Selected problems in quantum mechanics: towards topological quantum devices and heat engine

The work presented in this thesis meanly addresses two topics in theoretical physics which are quantum thermodynamics and topological order. In the first case, physicists are trying to build up a theory able to describe quite in general phenomena involving heat and energy exchanges in quantum systems. The second topic, instead, is related to exotic phenomena and states of matter like the quantum Hall effect (QHE) or topological insulators and topological superconductors. In the first part od the thesis we define the quantum dynamics for closed and open systems. This is a key ingredient to address the field of quantum thermodynamics. Then, after an introductory part about the quantum thermodynamic transformations, we move toward the field of nonequilibrium fluctuation relations. We address the problem of irreversibility in classical as well as quantum mechanics. Here we present one of our main result. We characterize the "thermodynamic" irreversible adiabatic evolution of a quantum system starting such branch in a thermal equilibrium state at inverse temperature ßi. We give the amount of thermodynamic entropy growth for the process. As direct application of the preceding result we then address a quantum Otto cycle (QOC) working at finite power. We saw that the increasing of irreversible character of the evolution affects the main figures of merit of the cycle. The second part of the thesis addresses the field of topological order. At first we introduce the concept of topological orders, classes and invariants. Then we introduce the well known Kitaev model for 1 D superconductors. This model predicts Majorana zero mode at the ends of the wire (the 1 D system). MZM are topological states showing great resistance against disorder, local perturbations and any dissipative element. Then we consider a generalized Kitaev model where long range interactions are accounted. We get rich topological phase diagrams showing the presence of several MZM per edge. We study the appearing/disappearing dynamics of the modes according to the time reversal symmetry, that is fundamental in the study of topological phase. The phase diagrams we obtained also show the presence of massive edge modes. In this last case the topological invariants do not well describe any transition. At last we focused on a very limit cases where MZM are obtained at finite length of the wire. Such cases are really interesting since the great advance we can get from the finiteness of the wire in an experimental setup. The last part is about single electron tunneling devices. Here we got a different ability to work as "heat-to-current harvester" for a device using quantum dots respect to an analogue one using metallic dots. These different arguments find their unity by considering recent scientific works in which heat transport is addressed in single electron transistor devices where some element of the circuit shows a topological behaviour. This is a perfect system from hich we can get new transport phenomena.

Il lavoro presentato in questa tesi tratta principalmente due argomenti quali le termodinamica quantistica e l'ordine topologico. Nel primo caso fisici stanno provando a costruire una teoria capace to descrivere abbastanza in generale gli scambi di calore ed energia in sistemi quantistici. Il secondo argomento, invece, si relaziona a fenomini e stati della meteria esotici come l'effetto "fractional quantum hall" o gli isolanti e superconduttori topologici. Nella prima parte della tesi definiamo la dinamica quantistica per un sistema chiuso ed aperto. Questo é fondamentale per trattare il campo della termodinamica quantistica. Poi, dopo una parte introduttiva sulle trasformazioni termodinamiche quantistiche, ci si sposta verso il campo delle relazioni di fluttuazione non all'equilibrio. Viene trattato il problema dell'irreversibilità tanto nella meccanica classica quanto in quella quantistica. Qui presentiamo uno dei nostri maggiori risultati. Caratterizziamo un'evoluzione adiabatica "termodinamica" irreversibile di un sistema quantistico il cui stato iniziale é uno di equilibrio alla temperatura inversa iniziale ßi. Viene ricavato l'incremento di entropia termodinamica del processo. Come applicazione diretta del risultato precedente si é considerato un ciclo Otto quantistico (QOC). Abbiamo notato che l'aumentare del carattere irreversibile dell'evoluzione inficia le principali figure di merito del ciclo. La seconda parte della tisi, invece, guarda al campo dell'ordine topologico. All'inizio introduciamo i concetti di ordine, classi ed invarianti topologici. Poi introduciamo il ben noto modello di Kitaev per superconduttori 1 D. Questo modello prevede "Majorana zero mode" (MZM) ai capi del filo (il sistema 1 D). I Majorana zero modes sono stati topologici che mostrano una grande resistenza contro il disordine, perurbazioni locali e ogni genere di elemento dissipativo. In viene considerata una generalizzazione del modello di Kitaev con interazioni a molti vicini. Vengono ricavati diagrammi di fase topologica molto "ricchi" che mostrano la presenza di molti MZM per lato. Inoltre si studia l'apparire e scomparire di tali modi a seconda della simmetria di inversione temporale, che é fondamentale per lo studio della fase topologica. I diagrammi di fase mostrano anche la presenza di massive edge modes. In questo ultimo caso gli invarianti topologici non descrivono bene tutte le transizioni. In fine ci siamo focalizzati sul caso limite dove gli MZM sono ottenuti quando il sistema ha una lunghezza finita. Tali casi sono molto interressanti visto il grande vantaggio che possiamo ricavarne in un setup sperimentale dato che il sistema può grandezza ridotta. L'ultima parte é sui dispositivi single electron tunneling. Qui abbiamo descritto la differente capacità a lavorare come "heat-to-current harvester" per un dispositivo che usa quantum dots rispetto ad uno analogo che usa metallic dots. Questi argomenti differenti trovano un punto di unione considerando lavori scientifici recenti in cui si considera trasporto di calore su dispositivi "single electron tuunneling" in cui alcune delle componenti circuitali dei dispositivi mostrano una natura topologica. Sono sistemi perfetti dai quali possiamo ottenere nuovi fenomeni di trasporto.