Regularity and approximation properties of the solutions of second order degenerate and nonlinear elliptic systems

This Dissertation consists of seven chapters. Chapter 1 is an introduction, where, in particular, the importance of studying the second order degenerate systems is disscussed and motivated. In this chapter we present some well-known auxiliary facts and necessery notation. In Chapter 2, we obtain the conditions of the unique solvability of the semiperiodical Dirichlet problems in the rectangle for second order degenerate systems with the right hand side in L_2. In Chapter 3, we establish a coercive estimate for the solutions of the semiperiodical Dirichlet problem for a second order degenerate system in the rectangle. In Chapter 4, we prove the existence, uniqueness and regularity in the Sobolev space W2_2(G,R2) of the solutions of second order singular degenerate systems with variable principal coefficients. Chapter 5 is devoted to the questions of coercive estimates for the solutions of second order singular degenerate systems. Chapter 6 is devoted to the questions of compactness and approximation properties of the solutions of second order singular degenerate systems. We also obtain double-sided estimates for the distribution function of the approximation numbers of the corresponding operator. We extend the main results of K. Ospanov on approximation properties of the solutions of an elliptic operator for Bitsadze-type systems with variable lower order coefficients to the case of degenerate systems. The unique solvability of the semiperiodical nonlinear problems for second order singular elliptic systems is proved in Chapter 7.

Questa Tesi consiste di sette capitoli. Il Capitolo 1 è una introduzione, dove, in particolare, viene discussa e motivata l'importanza dello studio di sistemi degeneri del secondo ordine. In questo capitolo presentiamo alcuni risultati ausiliari noti e notazioni necessarie. Nel Capitolo 2, otteniamo condizioni di risolubilità con unicità dei problemi di Dirichlet semiperiodici nel rettangolo per sistemi del secondo ordine degeneri con il dato in L_2. Nel Capitolo 3, stabiliamo una stima coerciva per le soluzioni del problema di Dirichlet semiperiodico per sistemi del secondo ordine degeneri nel rettangolo. Nel Capitolo 4, dimostriamo l'esistenza, l'unicità e la regolarità nello spazio di Sobolev W2_2(G,R2) delle soluzioni di sistemi degeneri del secondo ordine singolari con i coefficienti principali variabili. Il Capitolo 5 è dedicato a questioni di stime coercive per le soluzioni di sistemi degeneri del secondo ordine singolari. Il Capitolo 6 è dedicato a questioni di compattezza e a proprietà di approssimazione delle soluzioni di sistemi degeneri del secondo ordine singolari. Otteniamo anche stime sia dal basso che dall'alto per la funzione di distribuzione dei numeri di approssimazione dell'operatore corrispondente. Estendiamo i risultati principali di K. Ospanov sulle proprietà di approssimazione delle soluzioni di un operatore ellittico per sistemi di tipo Bitsadze con coefficienti di ordine inferiore variabili al caso di sistemi ellittici degeneri. La risolubilità con unicità dei problemi nonlineari semiperiodici per sistemi ellittici del secondo ordine singolari è dimostrata nel Capitolo 7.