Pseudo-likelihoods from unbiased estimating functions in complex models

The notion of likelihood function plays a central role in classical statistical inference, in particular from a Fisherian perspective, and represents an essential concept for Bayesian inference. Modern high-dimensional data, such as spatial data or complex structured longitudinal data, have generated challenges to the use of likelihood-based methods. These challenges involve both theoretical and computational difficulties that can be encompassed by specifying suitable pseudo-likelihoods, and in particular this thesis focuses on the class of composite likelihood functions. In the present thesis three issues regarding composite likelihood inference will be discussed. The first one concerns the non-standard asymptotic distribution of composite log likelihood ratios. In order to recover the standard chi-square asymptotic distribution, an empirical log likelihood ratio test statistic derived from the composite score function is proposed. The second one is the possible lack of accuracy of composite likelihood test statistics. Accurate estimates of tail area probabilities can be obtained by using the proposed non-parametric saddlepoint test statistic, which is based on the density of the maximum composite likelihood estimator. The third one concerns the lack of robustness of the maximum composite likelihood estimator. A robust maximum composite likelihood estimator with a high breakdown point is derived by exploiting the idea of the minimum covariance determinant estimator

La nozione di funzione di verosimiglianza gioca un ruolo fondamentale nell'inferenza statistica, in modo particolare nell'approccio fisheriano, e rappresenta un concetto centrale nell'inferenza bayesiana. Dati con elevata dimensionalità, come dati spaziali o dati longitudinali con struttura di dipendenza complessa, hanno generato nuove sfide nell'utilizzo di procedure inferenziali basate sulla funzione di verosimiglianza. Queste sfide coinvolgono sia aspetti teorici che computazionali, che possono essere affrontati mediante la specificazione di opportune funzioni di pseudo-verosimiglianza. In particolare, questa tesi è incentrata sulla classe delle funzioni di verosimiglianza composite. In questa tesi si discuteranno tre problemi che riguardano l'utilizzo delle funzioni di verosimiglianza composite. Il primo problema riguarda la distribuzione asintotica non standard del test log rapporto di verosimiglianza composito. Al fine di recuperare l'usuale distribuzione chi-quadrato, viene proposto un rapporto di verosimiglianza empirico derivato dalla funzione punteggio della verosimiglianza composita. Il secondo tema affrontato riguarda la possibile inacuratezza delle statistiche test ricavate dalle funzioni di verosimiglianza composite. Per ottenere stime accurate delle probabilità sulle code della distribuzione viene proposta una statistica test basata sull'approssimazione del punto di sella. Infine, il terzo problema riguarda la non robustezza dello stimatore di massima verosimiglianza composita. A tal fine viene proposta una versione robusta di tale stimatore che è basata sull'idea dello stimatore robusto ``MCD'' (minimum covariance determinant)