Some new results on reaction-diffusion equations and geometric flows

In this thesis we discuss the asymptotic behavior of the solutions of scaled reaction-diffusion equations in the unbounded domain Rn × (0 + ∞), in the cases when such a behavior is described in terms of moving interfaces. As first class of asymptotic problems we consider the singular limit of bistable reaction-diffusion equations in the case when the velocity of the traveling wave equation depends on the space variable, i.e. cε = cε(x), and it satisfies, in some suitable sense, cε/ετ → α, as ε → 0+, where α is a discontinuous function and τ is an integer that can be equal to 0 or 1. The second part of the thesis concerns semilinear reaction-diffusion equations with diffusion term of type tr(Aε(x)D2uε), where tr denotes the trace operator, Aε = σεσtε for some matrix map σε : Rn → Rn×(m+n) and Aε converges to a degenerate matrix. In order to establish such results rigorously, we modify and adapt to our problems the ”geometric approach” introduced by G. Barles and P. E. Souganidis for solving problems in Rn, and then partially revisited by G. Barles and F. Da Lio for reaction-diffusion equations in bounded domains. When it is possible we always consider the question of the well posedness of the Cauchy problems governing the motion of the fronts that describe the asymptotics we consider

In questa tesi discutiamo il comportamento asintotico delle soluzioni di equazioni di reazione-diffusione nel dominio illimitato Rn × (0,+∞) nei casi in cui tale comportamento sia descritto da un’interfaccia in movimento. Come primo tipo di problemi asintotici consideriamo il limite singolare di equazioni di reazione-diffusione bistabili nel caso in cui la velocità dell’onda viaggiante dipenda dalla variabile di stato, cioè cε = cε(x), e sia soddisfatto, al tendere di ε a zero e in qualche modo opportuno, cε/ετ → α, laddove α è una funzione discontinua e τ è un intero che può essere uguale a 0 o a 1. La seconda parte della tesi riguarda equazioni di reazione-diffusione semilineari e aventi termini di diffusione del tipo tr(Aε(x)D2uε), laddove tr denota l’operatore traccia, Aε = σεσtε per qualche funzione σε : Rn → Rn×(m+n) e Aε converge ad una matrice degenere. Al fine di provare tali risultati in modo rigoroso, abbiamo modificato e adattato "l’approccio geometrico" introdotto da G. Barles e P. E. Souganidis per risolvere problemi in Rn e in seguito parzialmente rivisto dallo stesso G. Barles assieme a F. Da Lio per equazioni di reazione-diffusione in domini limitati. Laddove possibile abbiamo sempre considerato la questione della buona posizione dei problemi di Cauchy che governano il moto dei fronti che descrivono le asintotiche da noi considerate