Separate analyticity and holomorphic sectors

In the first chapter of this thesis we study separate analyticity, starting from the complex setting: it is a well known fact, proved by Hartogs in 1906, that a function of $n$-complex variables is holomorphic if and only if it is separately holomorphic in each variable. First we remark that, by use of iteration, it is not restrictive to assume $n=2$. Once we are in dimension $2$, we observe that the main step in the proof of Hartogs' theorem consists in showing that if a function $f$ defined in $\Delta \times \Delta \subset \mathbb{C}^2$ is holomorphic for $|z_2|<\epsilon$ and separately holomorphic in $z_2$ when $z_1$ is kept fixed, then it is jointly holomorphic; the normal convergence of the Taylor series of $f$ is obtained through the celebrated Hartogs' lemma on subharmonic functions. This result has been generalized in various directions and following different approaches; in our work we consider the case where $f$ is separately holomorphic along the complex lines issued from a real curve $\gamma$, which foliate a real hypersurface $M\subset\mathbb{C}^2$, and holomorphic in a neighborhood of $\gamma$. Then it is holomorphic in a neighborhood of $M$. This generalization of Hartogs' lemma also offers a geometric interpretation of a theorem by Siciak about separate real analyticity: it is proved that a function in $\mathbb{R}^2$ which is separately real analytic in one variable and CR extendible in the other (that is separately holomorphically extendible to a uniform strip), is real analytic (see Baracco and Zampieri). In the second part we deal with the extension of holomorphic functions defined in a neighborhood of a wedge $V$ with non generic edge on a generic manifold $M$. We define the complex angle $\alpha\pi$ of $V$ at a point $p\in\partial V$ as the maximal angle of the intersection of the tangent cone to $V$ at $p$ with a complex line. If $V$ has no boundary ($\alpha=2$), or if the edge of $V$ is generic ($\alpha=1$), the classical theories of Boggess-Polking and Tumanov yield the extension of holomorphic functions defined in a neighborhood of $V$ to a wedge $V'$ over $V$. Zaitsev and Zampieri generalized the problem to the case $\frac12<\alpha<1$: in this situation, holomorphic functions defined in a neighborhood of the wedge extend to a so-called $\alpha$-wedge over $V$ (this can be viewed as a wedge in the space where the normal directions have a weight $\frac{1}{\alpha}$). To obtain this result, a new theory of analytic discs with an $\alpha$-Lipschitz singularity at a boundary point was introduced: the main property of this new class of $\alpha$-Lipschitz discs is that the composition of their normal component with the function $h$ which graphs $M$ is smooth. Hence it is possible to control the direction of these $\alpha$-discs when they are attached to the manifold. In this work we present the natural generalization of this theory to the case $\alpha \leq \frac12$: to keep the composition of the normal component of the discs with $h$ regular, we will ask that $h=O^k$ (i.e. $M$ is flat and rigid to the order $k$) for $k>\frac{1}{\alpha}$.

Nel primo capitolo di questa tesi studieremo il fenomeno della separata analiticità: nel caso complesso è ben noto (Hartogs, 1906) che una funzione di $n$ variabili complesse è olomorfa se e solo se è separatamente olomorfa in ogni variabile. Dopo aver osservato che è sufficiente supporre $n=2$ (possiamo in seguito iterare le conclusioni, aggiungendo una alla volta le variabili), dimostriamo il passaggio fondamentale del teorema di Hartogs: se $f$ è una funzione definita in $\Delta \times \Delta \subset \mathbb{C}^2$, olomorfa per $|z_2|<\epsilon$ e separatamente olomorfa in $z_2$ quando $z_1$ è fissato, allora $f$ è olomorfa nel complesso delle due variabili. La convergenza normale della serie di Taylor di $f$ è data dal lemma di Hartogs per funzioni subarmoniche. Tale risultato è stato generalizzato in più direzioni; nel lavoro presente si considera il caso in cui $f$ è separatamente olomorfa lungo le rette complesse, uscenti da una curva reale $\gamma$, che fogliano un'ipersuperficie reale $M\subset\mathbb{C}^2$ e olomorfa in un intorno di $\gamma$. Allora $f$ è olomorfa in un intorno di $M$. Questa generalizzazione del lemma di Hartogs offre una nuova interpretazione geometrica di un teorema di Siciak sulla separata analiticità reale: se una funzione in $\mathbb{R}^2$ è separatamente analitica reale in una variabile, e si estende ad una funzione olomorfa in una striscia uniforme nella seconda, allora è analitica reale nel complesso delle due variabili (Baracco-Zampieri). Nella seconda parte trattiamo l'estensione di funzioni olomorfe definite in un intorno di un wedge $V$ con edge non generico in una varietà generica $M$. Viene definito l'angolo complesso $\alpha\pi$ di $V$ in un punto $p\in\partial V$ come il massimo angolo di intersezione del cono tangente a $V$ in quel punto con una retta complessa. Nel caso in cui $V$ sia senza bordo ($\alpha=2$), o se l'edge di $V$ e generico ($\alpha=1$), le teorie classiche di Boggess-Polking e Tumanov assicurano l'estensione delle funzioni olomorfe in un intorno di $V$ ad un wedge $V'$ su $V$. Zaitsev e Zampieri hanno generalizzato il problema al caso $\frac12<\alpha<1$: le funzioni olomorfe nell'intorno del wedge, in questa situazione, si estendono ad un cosiddetto $\alpha$-wedge su $V$ (tale insieme può essere visto come un wedge la cui componente normale ha un andamento $\frac{1}{\a}$). Per ottenere questo risultato viene introdotta una nuova teoria di dischi analitici con una singolarità $\alpha$-Lipschitz in un punto di bordo: proprietà fondamentale di tali dischi $\alpha$-lipschitziani è che la loro componente normale viene resa regolare dalla composizione con la funzione $h$ di cui $M$ è il grafo. Grazie a questo fatto è possibile controllare la direzione di tali $\alpha$-dischi nel momento in cui vengono attaccati alla varietà. Nel nostro lavoro viene presentata la naturale generalizzazione della teoria al caso $\alpha \leq \frac{1}{2}$: per rendere regolare la composizione della componente normale dei dischi con $h$, chiederemo che $h=O^k$ (cioè $M$ piatta e rigida all'ordine $k$) per $k>\frac{1}{\alpha}$.