On the coupling of peridynamics with the classical theory of continuum mechanics in a meshless framework

The classical theory of solid mechanics employs partial derivatives in the equation of motion and hence requires the differentiability of the displacement field. Such an assumption breaks down when simulation of problems containing discontinuities, such as cracks, comes into the picture. peridynamics is considered to be an alternative and promising nonlocal theory of solid mechanics that is formulated suitably for discontinuous problems. Peridynamics is well designed to cope with failure analysis as the theory deals with integral equations rather than partial differential equations. Indeed, peridynamics defines the equation of motion by substituting the divergence of the stress tensor, involved in the formulation of the classical theory, with an integral operator. One of the most common techniques to discretize and implement the theory is based on a meshless approach. However, the method is computationally more expensive than some meshless methods based on the classical theory. This originates from the fact that in peridynamics, similar to other nonlocal theories, each computational node interacts with many neighbors over a finite region. To this end, performing realistic numerical simulations with peridynamics entails a vast amount of computational resources. Moreover, the application of boundary conditions in peridynamics is nonlocal and hence it is more challenging than the application of boundary conditions adopted by methods based on the classical continuum theory. This issue is well-known to scientists working on peridynamics. Therefore, it is reasonable to couple computational methods based on classical continuum mechanics with others based on peridynamics to develop an approach that applies different computational techniques where they are most suited for. The main purpose of this dissertation is to develop an effective coupled nonlocal/local meshless technique for the solution of two-dimensional elastodynamic problems involving brittle crack propagation. This method is based on a coupling between the peridynamic meshless method, and other meshless methods based on the classical continuum theory. In this study, two different meshless methods, the Meshless Local Exponential Basis Functions and the Finite Point Method are chosen as both are classified within the category of strong form meshless methods, which are simple and computationally cheap. The coupling has been achieved in a completely meshless scheme. The domain is divided in three zones: one in which only peridynamics is applied, one in which only the meshless method is applied and a transition zone where a transition between the two approaches takes place. The coupling adopts a local/nonlocal framework that benefits from the full advantages of both methods while overcoming their limitations. The parts of the domain where cracks either exist or are likely to propagate are described by peridynamics; the remaining part of the domain is described by the meshless method that requires less computational effort. We shall show that the proposed approach is suited for adaptive coupling of the strategies in the solution of crack propagation problems. Several static and dynamic examples are performed to demonstrate the capabilities of the proposed approach.

La teoria classica del continuo applicata ai solidi è basata sull’uso di equazioni differenziali del moto, pertanto viene ipotizzata la differenziabilità del campo degli spostamenti. Questa ipotesi viene meno quando nella risoluzione del problema compaiono delle discontinuità quali le cricche. La Peridynamics è una promettente teoria non locale del continuo che permette di gestire la presenza e l’evoluzione di discontinuità in un corpo solido. Questa nuova teoria è formulata per mezzo di equazioni integrali e pertanto può essere applicata anche allo studio della propagazione di cricche e dei fenomeni di rottura.La teoria Peridynamics utilizza un operatore integrale in sostituzione della divergenza del tensore delle tensioni, impiegata invece nella formulazione classica. Una delle tecniche di discretizzazione della Peridynamics maggiormente utilizzate è basata su un approccio di tipo meshless. Da un punto di vista computazionale questo approccio si rivela, però, più oneroso rispetto a quanto richiesto dall’uso di altri metodi meshless comunemente impiegati per lo studio della teoria classica del continuo. Questo è dovuto al fatto che in Peridynamics, in maniera analoga a quanto avviene in altre teorie non locali, ogni nodo interagisce con molti altri nodi vicini ed all’interno di una regione di dimensioni finite. Un altro svantaggio della Peridynamics è legato alla modalità con cui le condizioni di vincolo e di carico sono applicate rispetto ai metodi abitualmente utilizzati nella teoria classica. Questo problema è ben noto agli scienziati che studiano questa nuova teoria non locale. È quindi conveniente, accoppiare metodi basati sulla teoria classica con quelli che utilizzano la Peridynamics. Si svilupperà, in tal modo, un approccio in grado di utilizzare le diverse strategie computazionali nelle regioni del corpo solido in cui queste teorie si rivelano più adeguate. Lo scopo principale di questa tesi è di sviluppare una tecnica efficace per accoppiare metodi meshless di tipo non locale e locale per lo studio di problemi elasto-dinamici bidimensionali in materiali fragili anche in presenza di propagazione di cricche. Questa tecnica sarà basata sull’accoppiamento della teoria Peridynamics (nella sua formulazione meshless) con la teoria classica del continuo studiata per mezzo di metodi di tipo meshless. In particolare sono stati scelti due metodi meshless, basati sulla teoria classica del continuo, il “Meshless Local Exponential Basis Functions” ed il “Finite Point Method”. Entrambi appartengono alla categoria “strong form meshless methods”, sono di semplice implementazione e non sono particolarmente onerosi da un punto di vista computazionale. L’accoppiamento è stato realizzato grazie ad un unico schema meshless. Il dominio è suddiviso in tre regioni: una in cui si usa solamente la teoria Peridynamics, una in cui si utilizza solo il metodo meshless ed infine è prevista una regione di transizione che realizza il passaggio fra i due approcci di calcolo. La strategia proposta e sviluppata in questo elaborato, è in grado di accoppiare la teoria del continuo locale con la teoria del continuo non locale permettendo di trarre vantaggio dagli aspetti positivi delle due teorie e di superarne le rispettive limitazioni. La porzione del dominio in cui sono presenti delle cricche o in cui potrebbero propagarsi, è descritta impiegando la Peridynamics, mentre la restante porzione del dominio è descritta impiegando uno dei due metodi meshless citati in precedenza, che richiedono un minor onere computazionale. L’efficienza dell’approccio proposto sarà migliorata dall’uso di tecniche di accoppiamento adattativo: quest’ultima estensione permetterà di studiare diversi fenomeni di propagazione delle cricche con un limitato utilizzo di risorse di calcolo. Le prestazioni del metodo di accoppiamento ideato saranno descritte per mezzo di molteplici esempi con analisi sia statiche che dinamiche.