Minimal approximations for cotorsion pairs generated by modules of projective dimension at most one over commutative rings

In this thesis we study cotorsion pairs (A, B) generated by classes of R-modules of projective dimension at most one. We are interested in when these cotorsion pairs provide covers or envelopes over commutative rings. More precisely, we investigate Enochs' Conjecture in this setting. That is, for a class A contained in the class of modules of projective dimension at most one, denoted P_1, we investigate the question of whether A is covering necessarily implies that A is closed under direct limits. Additionally, under certain restrictions we characterise the rings which satisfy this property. To this end, there were two cases to consider: when the cotorsion pair is of finite type and when it is not of finite type. For the case that the cotorsion pair (P_1, B) is not (necessarily) of finite type, we show that over a semihereditary ring R, if P_1 is covering it must be closed under direct limits. This gives an example of a cotorsion pair not of finite type which satisfies Enochs' Conjecture. The next part of the thesis is dedicated toward cotorsion pairs of finite type, specifically the 1-tilting cotorsion pairs over commutative rings. We rely heavily on work of Hrbek who characterises these cotorsion pairs over commutative rings, as well as work of Positselski and Bazzoni-Positselski in their work on contramodules. We consider the case of a 1-tilting cotorsion pair (A, T) over a commutative ring with an associated Gabriel topology G, and begin by investigating when T is an enveloping class. We find that if T is enveloping, then the associated Gabriel topology must arise from a perfect localisation. That is, G must arise from a flat ring epimorphism from R to R_G, where R_G is the ring of quotients of R with respect to G. Furthermore, if G arises from a perfect localisation, T is enveloping in Mod-R if and only if the projective dimension of R_G is less than or equal to one and R/J is a perfect ring for every ideal J in G if and only if the projective dimension of R_G is less than or equal to one and the topological ring End(R_G/R) is pro-perfect. Next, we consider the case that A is a covering class, and we prove that A is covering in Mod-R if and only if the projective dimension of R_G is less than or equal to one and both the localisation R_G is a perfect ring and R/J is a perfect ring for every J in G. Additionally, we study general cotorsion pairs, as well as conditions for an approximation to be a minimal approximation. Moreover, we consider a hereditary cotorsion pair and show that if it provides covers it must provide envelopes.

In questa tesi studiamo le coppie di cotorsione (A, B) generate da classi di R-moduli di dimensione proiettiva al più uno. Siamo interessati nel caso in cui queste coppie di cotorsione ammettano ricoprimenti o inviluppi su anelli commutativi. Più precisamente, indaghiamo la congettura di Enochs per A. Cioè, per A contenuta nella classe P_1, che denota la classe di R-moduli di dimensione proiettiva al più uno, cerchiamo di capire se per A una classe ricoprente allora necessariamente implica che A è chiusa per limiti diretti. In più, con certe restrizioni, descriviamo gli anelli che soddisfano questa proprietà. Ci sono due casi da considerare: il caso di coppia di cotorsione di tipo finito e il caso non di tipo finito. Quando la coppia di cotorsione non è (necessariamente) di tipo finito, dimostriamo che per un anello commutativo semiereditario R, se P_1 è una classe ricoprente, deve essere chiusa per limiti diretti. Questo ci da un esempio di una coppia di cotorsione che non è di tipo finito che soddisfa la congettura di Enochs. Successivamente, analizziamo le coppie di cotorsione di tipo finito. Specificamente, le coppie di cotorsione 1-tilting su anelli commutativi. A questo scopo sono indispensabili il lavoro di Hrbek, che caratterizza tali coppie di cotorsione su anelli commutativi, e il lavoro di Positselski e Bazzoni-Positselski nel loro lavoro sui contramoduli. Consideriamo il caso di una coppia di cotorsione 1-tilting (A, T) su un anello commutativo con una topologia di Gabriel associata G, e studiamo quando (A, T) ammette inviluppi. Troviamo che se T ammette inviluppi, G è una topologia di Gabriel perfetta. Cioè, G viene da un epimorfismo piatto di anelli da R a R_G dove R_G è la localizzazione di R rispetto a G. Inoltre, se G è una topologia di Gabriel perfetta, T ammette inviluppi se e solo se R_G ha dimensione proiettiva al più uno e R/J è un anello perfetto per tutti gli ideali J in G se e solo se R_G ha dimensione proiettiva al più uno e l'anello topologico End(R_G/R) è pro-perfetto. Poi consideriamo il caso in cui A è ricoprente. Dimostriamo che A è ricoprente in Mod-R se e solo se R_G ha dimensione proiettiva al più uno e R_G è un anello perfetto e R/J è perfetto per ogni J in G. In aggiunta, studiamo coppie di cotorsione in generale e studiamo condizioni sufficienti affinchè una approssimazione sia minimale. Inoltre, consideriamo una coppia di cotorsione ereditaria e dimostriamo che se ammette ricoprimenti deve ammettere inviluppi.