ON TWO APPROACHES FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS IN SEVERAL COMPLEX VARIABLES

The aim of this thesis is to present influence of notations of ''type" on partial differential equations in several complex variables. The notations of "type" here include the finite and the infinite type in the sense of Hormander, and D'Angelo. In particular, in the first part, under the finite type condition, we will consider the existence and uniqueness of solutions for the initial value problem associated to the heat operator δs+□b on CR manifolds. The finite type m is the critical condition to provide pointwise estimates of the heat kernel via theory of singular integral operators developed by E. Stein and A. Nagel, D.H. Phong and E. Stein. Next, in the second part, we will introduce a new method to investigate the Cauchy-Riemann equations δu = φ. The solutions are constructed via the integral representation method. Moreover, we will show that the new method here is also applied well to the complex Monge-Ampère operator (ddc)n inCn. The main point is that our method can pass some well-known results from the case of finite type to infinite type.

Lo scopo di questa tesi è quello di presentare l'influenza di notazioni di " tipo'' su equazioni differenziali alle derivate parziali in più variabili complesse. Le notazioni di "tipo" qui includono il finito e il tipo di infinito, nel senso di Hormander, e D'Angelo. In particolare, nella prima parte, a condizione tipo finito, prenderemo in considerazione l'esistenza e l'unicità delle soluzioni per il problema del valore iniziale associato ai operatore calore δs+□b su varietà CR. Il tipo finito m è la condizione fondamentale per fornire stime puntuali del nucleo del calore attraverso la teoria degli operatori integrali singolari sviluppate da E. Stein e A. Nagel, D.H. Phong e E. Stein. Prossimo, nella seconda parte, introdurremo un nuovo metodo per indagare la equazioni Cauchy-Riemann δu = φ. Le soluzioni sono costruite con via metodo rappresentazione integrale. Inoltre, mostreremo che il nuovo metodo qui viene applicato anche ben al complesso operatore Monge-Ampère (ddc)n inCn. Il punto principale è che il nostro metodo può passare alcuni risultati noti dal caso di tipo finito al tipo di infinito.