An algebraic p-adic L-function for ordinary families

In this thesis, we construct algebraic p-adic L-functions for families of Galois representations attached to p-adic analytic families of automorphic representations using the formalism of Selmer complexes. This is achieved mainly through making a modification of the Selmer complex to ensure that we deal with perfect complexes and proving a control theorem for the local Euler factors at places not lying above p. The control theorem for local Euler factors is obtained by studying the variation of monodromy under pure specializations of p-adic families of Galois representations restricted to decomposition groups at places of residue characteristic different from p. This allows us to prove a control theorem for the algebraic p-adic L-functions that we construct for Hida families of ordinary cusp forms and ordinary automorphic representations for definite unitary groups. For the Hida family of ordinary cusp forms, we construct a two-variable algebraic p-adic L-function and formulate a conjecture relating it with the analytic p-adic L-function constructed by Emerton, Pollack and Weston. Using results due to Kato, Skinner and Urban, we prove this conjecture in some special cases.

In questa tesi, costruiamo funzioni L p-adiche algebriche per le famiglie di rappresentazioni di Galois associate a famiglie p-adiche analitiche di rappresentazioni automorfe, utilizzando il formalismo dei complessi di Selmer. Questo risultato è ottenuto principalmente attraverso una modifica del complesso di Selmer, attuata in modo tale da garantire che i complessi studiati siano perfetti e attraverso un teorema di controllo per i fattori di Eulero locali nei primi diversi da p. Il teorema di controllo per fattori di Eulero locali si ottiene studiando la monodromia al variare delle specializzazioni pure di famiglie p-adiche di rappresentazioni di Galois ristrette a gruppi di decomposizione a primi di fuori p. Questo ci permette di dimostrare un teorema di controllo per funzioni L p-adiche algebriche, costruite per famiglie di Hida di forme cuspidali ordinarie e rappresentazioni automorfe ordinarie per i gruppi unitari definiti. Per la famiglia di Hida di forme cuspidali ordinarie, costruiamo una funzione L p-adica algebrica di due variabili e formuliamo una congettura che stabilisca il legame con la funzione L p-adica analitica costruita da Emerton, Pollack e Weston. Utilizzando i risultati di Kato, Skinner e Urban, dimostriamo questa congettura in alcuni casi particolari.