Tube Estimates for Hypoelliptic Diffusions and Scaling Properties of Stochastic Volatility Models

In this thesis we address two problems. In the first part we consider hypoelliptic diffusions, under both strong and weak Hormander condition. We find Gaussian estimates for the density of the law of the solution at a fixed, short time. A main tool to prove these estimates is Malliavin Calculus, in particular some techniques recently developed to deal with degenerate problems. We then use these short-time estimates to show exponential two-sided bounds for the probability that the diffusion remains in a small tube around a deterministic path up to a given time. In our hypoelliptic framework, the shape of the tube must reflect the fact the diffusion moves with a different speed in the direction of the diffusion coefficient and in the direction of the Lie brackets. For this reason we introduce a norm accounting of this anisotropic behavior, which can be adapted to both the strong and weak Hormander framework. We establish an equivalence between this norm and the standard control distance in the strong Hormander case. In the weak Hormander case, we introduce a suitable equivalent control distance. In the second part of the thesis we work with mean reverting stochastic volatility models, with a volatility driven by a jump process. We first suppose that the jumps follow a Poisson process, and consider the decay of cross asset correlations, both theoretically and empirically. This leads us to study an algorithm for the detection of jumps in the volatility profile. We then consider a more subtle phenomenon widely observed in financial indices: the multiscaling of moments, i.e. the fact that the q-moment of the log-increment of the price on a time lag of length h scales as h to a certain power of q, which is non-linear in q. We work with models where the volatility follows a mean reverting SDE driven by a Lévy subordinator. We show that multiscaling occurs if the characteristic measure of the Lévy has power law tails and the mean reversion is super-linear at infinity. In this case the scaling function is piecewise linear.

In questa tesi ci occupiamo di due problemi. Nella prima parte consideriamo delle diffusioni ipoellittiche, sia sotto una condizione di Hormander forte che debole. Troviamo delle stime gaussiane per la densità della legge della soluzione in tempo corto. Uno strumento fondamentale per dimostrare questo tipo di stime è il calcolo di Malliavin. In particolare, utilizziamo delle tecniche sviluppate negli ultimi anni per affrontare dei problemi degeneri. Poi, grazie a queste stime in tempo corto, troviamo dei bound inferiore e superiore esponenziali per la probabilità che la diffusione rimanga in un piccolo tubo attorno a una traiettoria deterministica, fino a un tempo fissato. In questo contesto ipoellittico, la forma del tubo deve riflettere il fatto che la diffusione si muove con una velocità diversa nella direzione dei coefficienti di diffusione e nella direzione delle parentesi di Lie. Per questo motivo introduciamo una norma che tenga conto di questo comportamento anisotropo, adattabile al caso di Hormander forte e debole. Nel caso Hormander forte stabiliamo un'equivalenza tra questa norma e la distanza di controllo classica. Nel caso Hormander debole introduciamo una distanza di controllo equivalente adeguata. Nella seconda parte della tesi lavoriamo con dei modelli a volatilità stocastica con ritorno alla media, in cui la volatilità è diretta da un processo di salto. Supponiamo inizialmente che i salti siano dati da un processo di Poisson, e consideriamo il decadimento delle correlazioni incrociate, sia teoricamente che empiricamente. Questo ci porta a studiare un algoritmo per identificare i picchi nel profilo della volatilità. Consideriamo successivamente un fenomeno più sottile largamente osservato negli indici finanziari: il "multiscaling" dei momenti, ovvero il fatto che i momenti d'ordine q dei log-incrementi del prezzo su un tempo h, hanno un'ampiezza di ordine h a una certa potenza, che è non lineare in q. Lavoriamo con dei modelli in cui la volatilità è data da un'equazione differenziale stocastica con ritorno alla media, diretta da un subordinatore di Lévy. Mostriamo che il multiscaling si produce se la misura caratteristica del Lévy ha delle code di legge di potenza e il ritorno alla media è superlineare all'infinito. In questo caso l'esponente di scaling è lineare a tratti.