Darmon cycles and the Kohnen - Shintani lifting

Let f(q) be a Coleman family of cusp forms of tame level $N$. Let $k_{0}$ be the $p$-new classical weight of the Coleman family f(q). By the Kohnen-Shintani correspondence, we associate to every even classical weight $k$ a half-integral weight form (for $k \neq k_{0}$) $g_{k} = \sum\limits_{D > 0} c(D, k)q^D \in S_{\frac{k+1}{2}}(\Gamma_{0}(4N))$ and $g_{k_{0}} = \sum\limits_{D > 0} c(D, k)q^D \in S_{\frac{k+1}{2}}(\Gamma_{0}(4Np))$. We first prove that the Fourier coefficients $c(D, k)$ for $k \in 2\mathbb{Z}_{> 0}$ can be interpolated by a $p$-adic analytic function $\tilde{c}(D, \kappa)$ with $\kappa$ varying in a neighbourhood of $k_{0}$ in the $p$-adic weight space. Based on the eigenvalue of the Atkin-Lehner operator at $p$, we partition the discriminants $D$ appearing in the Fourier expansion, $\sum\limits_{D > 0} c(D, k)q^D$, into two types (Type I and Type II). For any Type II discriminant $D$, we show that the derivative along the weight at $k_{0},\: \frac{d}{d\kappa}[\widetilde{c}(D, \kappa)]_{k=k_{0}},$ is related to certain algebraic cycles associated to the motive $\mathcal{M}_{k_{0}}$ attached to the space of cusp forms of weight $k_{0}$ on $\Gamma_{0}(Np)$. These algebraic cycles appear in the theory of Darmon cycles.

Sia $\mathbf{f}(q)$ essere un famiglia Coleman di forme cuspide di livello domare $N$. Sia $k_ {0}$ il $p$-nuova peso classica della famiglia Coleman $\ mathbf{f}(q)$. Con la corrispondenza Kohnen-Shintani, associamo ad ogni anche classica peso $k$ a forma semi-integrale peso (per $k \neq k_{0}$) $ g_ {k} = \sum\limits_{D> 0} c(D, k)q ^ D \in S_{\ frac{k + 1}{2}}(\Gamma_ {0}(4N))$ e $ g_{k_{0}} = \sum\limits_{ D> 0}c(D, k)q^D \in S_{\frac{k + 1}{2}}(\Gamma_{0}(4NP))$. Per prima cosa dimostrare che il Fourier coefficienti $ c(D, k) $ per $ k \in 2\mathbb{Z}_{> 0} $ può essere interpolata da un $ p $-adic funzione analitica $\tilde{c}(D, \kappa)$ con $\kappa$ variabile in un quartiere di $k_ {0}$ in la spazio peso $p$-adic. Sulla base della autovalore dell'operatore Atkin-Lehner a $p$, noi partizionare il discriminanti $D$ che compare nella espansione di Fourier, $\sum\limits_{D> 0} c(D, k) q^D $, in due Tipi (Tipo I e II). Per qualsiasi Tipo II discriminante $D$, dimostriamo che la derivata lungo il peso di $k_ {0} \: \frac_{d} {d\kappa}[\ widetilde{c}(D, \ kappa)]_{k = k_ {0}}$ è legato ad alcuni cicli algebrici associate motif $\mathcal{M}_{k_ {0}}$ attaccato allo spazio delle forme delle cuspidi di peso $k_ {0}$ su $\Gamma_ {0}(Np) $. Questi cicli algebrici appaiono nella teoria dei cicli Darmon.