Singular Perturbations and Ergodic Problems for degenerate parabolic Bellman PDEs in R^m with Unbounded Data

In this thesis we treat the first singular perturbation problem of a stochastic model with unbounded and controlled fast variables with success. Our methods are based on the theory of viscosity solutions, homogenisation of fully nonlinear PDEs and a careful analysis of the associated ergodic stochastic control problem in the whole space R^m. The text is divided in two parts. In the first chapter, we investigate the existence and uniqueness as well as a suitable stability of the solution to the associated ergodic problem that are crucial to characterize the effective Hamiltonian of the limit (effective) Cauchy problem in Chapter II of this thesis. The main achievement obtained in this part is a purely analytical proof for the uniqueness of solution to such ergodic problem. Since the state space of the problem is not compact, in general there are infinitely many solutions to the ergodic problem. However, if one restrict the class of solutions to the set of bounded-below functions, then it is known that uniqueness holds up to an additive constant. The existing proof relies on some probabilistic techniques employing the invariant probability measure for the associated stochastic process. Here we give a new proof, purely analytic, based on the strong maximum principle. We believe that our results can be interesting and useful for researchers in the PDE community. In the second chapter, we introduce our singular perturbation model of a stochastic control problem and we prove our main result: the convergence of the value function $V^\epsilon$ associated to the problem to the solution of the limiting equation. More precisely, we prove that the functions \underline{V} (t,x):=\liminf_{(\epsilon,t',x') \to (0,t,x)} \inf_{y \in \mathbb{R}^m} V^\epsilon (t',x',y) and \bar{V} (t,x) :=(\sup_{R} \bar{V}_R)^* (t,x) \text{ (upper semi-continuous envelope of $\sup_{R} \bar{V}_R$ )} where $\bar{V}_{R} (t,x):=\limsup_{(\epsilon, t',x') \to (0,t,x)} \sup_{y \in B_R (0)} V^\epsilon (t',x',y)$, are, respectively, a super and a subsolution of the effective Cauchy problem. As a corollary of this result, $V^\epsilon$ converges to the unique solution $V$ of the effective equation provided the equation admits the comparison principle for discontinuous viscosity solutions. The justification of this convergence is not trivial at all. It especially involves some regularity issues and a careful treatment of viscosity techniques and stochastic analysis. This result has never been obtained before.

In questa tesi viene trattato con successo il primo problema di perturbazione singolare di un modello stocastico con variabili veloci controllate e non limitate. I metodi si basano sulla teoria delle soluzioni di viscosità, omogeinizzazione dei PDE completamente non lineari, e su un'attenta analisi del problema stocastico ergodico associato, valido nell'intero spazio R^m. Il testo è diviso in due parti. Nel primo capitolo, saranno studiate l'esistenza, l'unicità e alcune proprietà di stabilità della soluzione del problema ergodico, riferito sopra, che sono essenziali per caratterizzare il Hamiltoniano effettivo che appare in un Problema di Cauchy "limite", che sarà descritto nel capitolo II di questa tesi. Il principale contributo, presentato in questa parte, è una prova puramente analitica dell'unicità della soluzione di questo problema ergodico. Siccome lo stato dello spazio del problema non è compatto, in generale ci sono un numero infinito di soluzioni a questo problema. Tuttavia, se uno limitasse la classe di soluzioni all'insieme di funzioni limitate inferiormente, allora è noto che l'unicità sarà mantenuta a meno di una costante. La prova esistente si basa su alcune tecniche probabilistiche che impiegano la misura di probabilità invariante per l'associato processo stocastico. Qua verrà data una nuova prova, puramente analitica, basata sul principio del massimo. Si ritiene che il risultato potrà essere interessante ed utile per i ricercatori che lavorano all'interno della comunità di ricerca delle Equazioni Differenziali alle derivate Parziali (PDE). Nel secondo capitolo, sarà introdotto un modello di perturbazione singolare di un problema di controllo stocastico, e provato il risultato principale: la convergenza della funzione valore $V^\epsilon$, associata al nostro problema, per soluzione dell'equazione limite. Più precisamente, sarà provato che le funzioni: \underline{V} (t,x):=\liminf_{(\epsilon,t',x') \to (0,t,x)} \inf_{y \in \mathbb{R}^m} V^\epsilon (t',x',y) e \bar{V} (t,x) :=(\sup_{R} \bar{V}_R)^* (t,x) \text{ (upper semi-continuous envelope of $\sup_{R} \bar{V}_R$ )} dove $\bar{V}_{R} (t,x):=\limsup_{(\epsilon, t',x') \to (0,t,x)} \sup_{y \in B_R (0)} V^\epsilon (t',x',y)$, sono, rispettivamente, una super soluzione e una sottosoluzione del problema effettivo di Cauchy. Come corollario di questo risultato, $V^\epsilon$ converge all'unica soluzione V della equazione effettiva se l'equazione limite permette il principio di comparazione per le soluzioni di viscosità discontinue. La motivazione di questa convergenza non è ovvia del tutto. Coinvolge specialmente alcuni problemi di regolarità e un trattamento attento delle tecniche di viscosità e di analisi stocastica. Questo risultato è nuovo e non è mai stato ottenuto, prima d'ora, nella letteratura Matematica.