Topics in stochastic control and differential game theory, with application to mathematical finance

We consider three problems in stochastic control and differential game theory, arising from practical situations in mathematical finance and energy markets. First, we address the problem of optimally exercising swing contracts in energy markets. Our main result consists in characterizing the value function as the unique viscosity solution of a Hamilton-Jacobi-Bellman equation. The case of contracts with penalties is straightforward. Conversely, the case of contracts with strict constraints gives rise to stochastic control problems where a non-standard integral constraint is present: we get the anticipated characterization by considering a suitable sequence of unconstrained problems. The approximation result is proved for a general class of problems with an integral constraint on the controls. Then, we consider a retailer who has to decide when and how to intervene and adjust the price of the energy he sells, in order to maximize his earnings. The intervention costs can be either fixed or depending on the market share. In the first case, we get a standard impulsive control problem and we characterize the value function and the optimal price policy. In the second case, classical theory cannot be applied, due to the singularities of the penalty function; we then outline an approximation argument and we finally consider stronger conditions on the controls to characterize the optimal policy. Finally, we focus on a general class of non-zero-sum stochastic differential games with impulse controls. After defining a rigorous framework for such problems, we prove a verification theorem: if a couple of functions is regular enough and satisfies a suitable system of quasi-variational inequalities, it coincides with the value functions of the problem and a characterization of the Nash equilibria is possible. We conclude by a detailed example: we investigate the existence of equilibria in the case where two countries, with different goals, can affect the exchange rate between the corresponding currencies.

In questa tesi vengono considerati tre problemi relativi alla teoria del controllo stocastico e dei giochi differenziali; tali problemi sono legati a situazioni concrete nell'ambito della finanza matematica e, più precisamente, dei mercati dell'energia. Innanzitutto, affrontiamo il problema dell'esercizio ottimale di opzioni swing nel mercato dell'energia. Il risultato principale consiste nel caratterizzare la funzione valore come unica soluzione di viscosità di un'opportuna equazione di Hamilton-Jacobi-Bellman. Il caso relativo ai contratti con penalità può essere trattato in modo standard. Al contrario, il caso relativo ai contratti con vincoli stretti porta a problemi di controllo stocastico in cui è presente un vincolo non standard sui controlli: la suddetta caratterizzazione è allora ottenuta considerando un'opportuna successione di problemi non vincolati. Tale approssimazione viene dimostrata per una classe generale di problemi con vincolo integrale sui controlli. Successivamente, consideriamo un fornitore di energia che deve decidere quando e come intervenire per cambiare il prezzo che chiede ai suoi clienti, al fine di massimizzare il suo guadagno. I costi di intervento possono essere fissi o dipendere dalla quota di mercato del fornitore. Nel primo caso, otteniamo un problema standard di controllo stocastico impulsivo, in cui caratterizziamo la funzione valore e la politica ottimale di gestione del prezzo. Nel secondo caso, la teoria classica non può essere applicata a causa delle singolarità nella funzione che definisce le penalità. Delineiamo quindi una procedura di approssimazione e consideriamo infine condizioni più forti sui controlli, così da caratterizzare, anche in questo caso, il controllo ottimale. Infine, studiamo una classe generale di giochi differenziali a somma non nulla e con controlli di tipo impulsivo. Dopo aver definito rigorosamente tali problemi, forniamo la dimostrazione di un teorema di verifica: se una coppia di funzioni è sufficientemente regolare e soddisfa un opportuno sistema di disequazioni quasi-variazionali, essa coincide con le funzioni valore del problema ed è possibile caratterizzare gli equilibri di Nash. Concludiamo con un esempio dettagliato: indaghiamo l'esistenza di equilibri nel caso in cui due nazioni, con obiettivi differenti, possono condizionare il tasso di cambio tra le rispettive valute.