The oscillation properties of half-linear second order and higher order differential equations

The Thesis is dedicated to the investigation of the oscillation
properties of half-linear second order and higher order
differential equations.

Chapter 1 includes a short history of the problem, the statement
of the problems and the main results. In this chapter, we present
some well-known auxiliary facts and necessary notation on
half-linear second order differential equations and weighted
Hardy inequalities.

In Chapter 2, we consider weighted Hardy inequalities on the set of smooth
functions with compact support. We obtain
new results, which generalize the known results concerning this theme.

In Chapter 3, we investigate the problems of disfocality and
disconjugacy of half-linear second order differential equations.
We obtain new sufficient conditions and necessary conditions of
disfocality and disconjugacy on a given interval. Also, we
consider the behavior of some of the solutions on a given
interval.

In Chapter 4, we apply the results of Chapter 3 in order to obtain
sufficient conditions and necessary conditions of nonoscillation
of half-linear second order differential equations with
nonnegative coefficients. We also obtain new oscillation and
nonoscillation conditions of half-linear differential equations
by applying the known results of the theory of weighted Hardy type
inequalities. Also, Chapter 4 includes the proofs of general
statements establishing the link between results of weighted Hardy
type inequalities and results ensuring oscillation and
nonoscillation of the solutions of half-linear second order
differential equation with nonnegative coefficients. We also
obtain new results on conjugacy and oscillation in the case in
which the second coefficient changes sing, by applying the
variational method.

In Chapter 5, we investigate the problem of oscillation and
nonoscillation of the solutions of two term linear and
half-linear equations of higher order with nonnegative
coefficients. It seems that our results concerning general
conditions on the coefficients for nonoscillatory solutions of
half-linear equations of higher order and for oscillatory and
nonoscillatory solutions for linear equations of higher order are
new. We establish necessary and sufficient conditions of strong
oscillation and strong nonoscillation of the solutions for linear
equations.

Questa Tesi consiste di cinque capitoli. La Tesi è dedicata allo studio delle proprietà di oscillazione di equazioni differenziali semi-lineari del secondo ordine e di ordine superiore. Il Capitolo 1 contiene una breve storia del problema, la formulazione dei problemi e i risultati principali. In questo capitolo, presentiamo alcuni risultati ausiliari noti e alcune notazioni necessarie relative a equazioni differenziali semi-lineari del secondo ordine e disuguaglianze di Hardy con peso. Nel Capitolo 2, consideriamo disuguaglianze di Hardy con peso nell'insieme delle funzioni lisce a supporto compatto. Otteniamo risultati nuovi, che generalizzano risultati noti riguardanti questo tema. Nel Capitolo 3, studiamo i problemi di disfocalità e disconiugazione per equazioni differenziali semi-lineari del secondo ordine. Otteniamo nuove condizioni necessarie e sufficienti di disfocalità e disconiugazione su un intervallo assegnato. Inoltre, consideriamo il comportamento di alcune soluzioni su un intervallo assegnato. Nel Capitolo 4, applichiamo i risultati del Capitolo 3 al fine di ottenere condizioni necessarie e sufficienti di non-oscillazione di equazioni differenziali semi-lineari del secondo ordine con coefficienti non-negativi. Otteniamo anche nuove condizioni di oscillazione e non-oscillazione per equazioni differenziali semi-lineari applicando risultati noti di teoria delle disuguaglianze di tipo Hardy con peso. Inoltre, il Capitolo 4 include le dimostrazioni di affermazioni generali che stabiliscono il collegamento tra disuguaglianze di tipo Hardy con peso e risultati che assicurano l'oscillazione e la non-oscillazione per le soluzioni di equazioni semi-lineari del secondo ordine con coefficienti non-negativi. Otteniamo anche risultati nuovi sulla coniugazione e l'oscillazione nel caso in cui il secondo coefficiente cambi di segno, applicando il metodo variazionale. Nel Capitolo 5, studiamo il problema di oscillazione e non-oscillazione per soluzioni di equazioni lineari e semi-lineari a due termini di ordine superiore con coefficienti non-negativi. Pensiamo che i nostri risultati riguardanti condizioni generali sui coefficienti per soluzioni non-oscillatorie di equazioni semi-lineari del secondo ordine e per soluzioni oscillatorie e non-oscillatorie di equazioni lineari di ordine superiore siano nuovi. Stabiliamo condizioni necessarie e sufficienti per l'oscillazione forte e per la non-oscillazione forte per soluzioni di equazioni lineari.