Computing Arithmetic Subgroups of Affine Algebraic Groups

This works deals with a problem concerning the algorithmic theory of affine algebraic groups. More precisely, it is possible to associate to any algebraic group defined over the field of the rational numbers a family of subgroups, the so-called arithmetic subgroups. In 1969, Borel and Harish-Chandra showed that every arithmetic group is finitely generated. Also, in the '80, Grunewald and Segal provided an algorithm for computing a finite set of generators of a given arithmetic subgroup of a given algebraic group. Unfortunately, their algorithm is not practical. In this work, we describe two original and practical algorithms for the same task, which work in the special cases in which the given algebraic group is unipotent or a torus, respectively.

Questo lavoro si occupa di un problema inerente alla teoria algoritmica dei gruppi algebrici affini. Più precisamente, è possibile associare ad un qualsiasi gruppo algebrico definito sul campo dei numeri razionali una famiglia di sottogruppi, i cosiddetti sottogruppi aritmetici. Nel 1969, Borel e Harish-Chandra mostrarono che ogni gruppo aritmetico è finitamente generato. Inoltre, negli anni '80, Grunewald e Segal fornirono un algoritmo per calcolare un sistema finito di generatori di un dato sottogruppo aritmetico di un dato gruppo algebrico. Sfortunatamente, il loro algoritmo non è pratico. In questo lavoro, descriviamo due algoritmi originali e pratici per lo stesso compito, che funzionano nei casi particolari in cui il gruppo algebrico dato è, rispettivamente, unipotente o un toro.