Covariance Realization Problem for Spin Systems

Let (Ω, Α) be a measurable space, F be a family of measurable functions f from Ω to R, and c: F→R be a given function. A generalized moment problem consists of finding all probabilities P on (Ω, Α) such that ∫ f dP = c(f) = cf for all f є F, and in providing conditions on ( c ) f є F for the existence of at least one such probability. Generalized moment problems of this kind have been widely studied, mainly in the theoretical engineering community, for continuous random variables. In this thesis, we consider the special case of the covariance realization problem for spin systems and discuss the necessary and sufficient conditions for the realizability of a correlation matrix of order n ≥ 2. Let Ωn = { -1, 1}ⁿ be the space of length n sequences which are denoted by σ = (σ1, σ 2, …, σn), where σi є { -1, 1 }. Define the spin random variables ξi : Ω →{ -1, 1} for 1 ≤ i ≤ n as ξi (σ ) = σ i . For a probability P on Ωn , we denote by EP the expectation with respect to P . Given a symmetric matrix C = (( c ij)), we ask the following question in this thesis: under what condition does there exist a probability P such that EP (ξi) = 0 and c ij = EP (ξi ξj) for 1 ≤ i ≤ j ≤ n ? In this case, we say that C is a spin correlation matrix. The necessary and sufficient conditions for a symmetric matrix of order n ≤ 4 to be a spin correlation matrix are already known. In this thesis, we obtain a general set of inequalities that are necessary and sufficient for any n . We also give a minimal set of necessary and sufficient conditions for n=5,6. Finally, we discuss methods to explicitly find the measure that realizes the given spin correlations (if they are feasible). We give a deterministic algorithm as well as a stochastic version of the same algorithm to find the measure explicitly. The efficiency of different algorithms is compared and some examples are worked out to illustrate the point.

Sia (Ω, Α) uno spazio misurabile, F una famiglia di funzioni misurabili f da Ω a R, e c: F→R sia una funzione assegnata. Un problema dei momenti generalizzato consiste nel trovare tutte le probabilità P su (Ω, Α) tali ∫ f dP = c(f) = cf per ogni f є F, e nel determinare le condizioni su ( c ) f є F per l'esistenza di almeno una tale probabilità. Problemi dei momenti generalizzati di questo tipo sono stati ampiamente studiati, principalmente dagli ingegneri teorici, per variabili casuali continue. In questa tesi consideriamo il caso speciale del problema di realizzazione della covarianza per sistemi di spin e discutiamo le condizioni necessarie e sufficienti per la realizzabilità di una matrice di covarianza di ordine n ≥ 2. Sia Ωn = {-1, 1}ⁿ lo spazio delle sequenze di lunghezza n, denotate con σ = (σ1, σ 2, …, σn), dove σi є {-1, 1}. Definiamo le variabili aleatorie di spin ξi : Ω →{-1, 1} per 1 ≤ i ≤ n ponendo ξi (σ ) = σ i. Data una probabilità P su Ωn , denotiamo con EP il valore atteso rispetto a P. Data una matrice simmetrica C = (( c ij)), nella tesi ci poniamo la seguente domanda: sotto quali condizioni esiste una probabilità P tale che EP (ξi) = 0 e c ij = EP (ξi ξj) for 1 ≤ i ≤ j ≤ n? In questo caso, diciamo che C è una matrice di correlazione per spin. Condizioni necessarie e sufficienti affinchè una matrice simmetrica di ordine n ≤ 4 sia una matrice di correlazione per spin sono note. In questa tesi forniamo una famiglia di disuguaglianze che costituiscono una condizione necessaria e sufficiente per ogni n. Inoltre, per n=5,6, forniamo l'insieme di condizioni necessarie e sufficienti minimali. Infine, discutiamo vari metodi per determinare una probabilità che realizza le correlazioni assegnate (se ne esiste almeno una). Forniamo per questo un algoritmo deterministico, e alcune versioni stocastiche dello stesso. Confrontiamo inoltre, su alcuni esempi, l'efficienza di tali algoritmi.