The Impact of Disorder in the Critical Dynamics of Mean-Field Models

We consider a mean-field interacting particle system embedded in a site-dependent and i.i.d. random environment. We make it evolve as a continuous time Markov chain on its state space. The dynamics are given depending on few parameters and they are completely described by that of the order parameter of the model. We derive the dynamics of this last quantity, in the infinite volume limit, and then their long time behavior is studied. The limiting dynamics of the order parameter are deterministic and, depending on the values of the parameters, exhibit a phase transition. Our main interest is the study of the critical fluctuations, that are the fluctuations of the order parameter around its limiting dynamics when the parameters take the values for which the phase transition occurs. We aim at analyzing the effect of the disorder in the dynamics of them, as compared with the homogeneous case. We deal with spin-flip and interacting diffusion systems, but we do not treat the subject in total generality, we focus on specific models: the random Curie-Weiss model; a non-reversible spin-flip system motivated by Finance and the homogeneous and inhomogeneous Kuramoto models.

Consideriamo un sistema di particelle interagenti a campo-medio immerso in un ambiente aleatorio i.i.d. e sito-dipendente. Il sistema viene fatto evolvere come una catena di Markov a tempo continuo sullo spazio degli stati. La dinamica dipende da pochi parametri e puo` essere completamente descritta attraverso quella del parametro d'ordine del modello. Ricaviamo la dinamica di quest'ultimo nel limite di volume infinito e quindi ne studiamo il comportamento per tempi lunghi. Tale dinamica limite risulta essere deterministica e, al variare dei parametri, presenta una transizione di fase. Il nostro interesse principale e` lo studio delle fluttuazioni critiche, cioe` le fluttuazioni del parametro d'ordine attorno alla dinamica limite quando i parametri assumono i valori tali per cui si verifica la transizione di fase. Lo scopo e` l'analisi degli effetti causati dal disordine su di esse, confrontandole con le analoghe fluttuazioni per il caso omogeneo. Trattiamo sistemi di spin e di diffusioni, ma non in totale generalita`. Ci concentriamo su dei modelli specifici: il modello di Curie-Weiss con aggiunta di campo aleatorio; un sistema di spin non-reversibile motivato dalla Finanza e il modello di Kuramoto omogeneo e non.