Two problems concerning interacting systems: 1. On the purity of the free boundary condition Potts measure on Galton-Watson trees 2. Uniform propagation of chaos in some spin-flip models

Abstract: A rigorous approach to Statistical Physics issues often produces interesting mathematical questions. This Ph.D. thesis is composed of two different parts. One does not intersect the other, but both research topics lie at the interface between Probability Theory and Statistical Mechanics. • In the first part we deal with reconstruction of a tree-indexedMarkov chain on Galton-Watson trees, improving previous bound byMossel and Peres, both for symmetric and strongly asymmetric chains. Moreover, we give some numerical estimates to compare our bound with those of other authors. We provide a sufficient condition of the form Q(d)c(M) < 1 for the non-reconstructability of tree-indexed q-stateMarkov chains obtained by broadcasting a signal from the root with a given transition matrix M. Here c(M) is a constant depending on the transition matrixM and Q(d) is the expected number of offspring on the Galton-Watson tree. This result is equivalent to proving the extremality of the free boundary condition Gibbs measure within the corresponding Gibbs-simplex. When considering the Potts model case we take this point of view too. Our theorem holds for possibly non-reversible M. In the case of the symmetric Ising model the method produces the correct reconstruction threshold, in the case of the (strongly) asymmetric Ising modelwhere the Kesten-Stigum bound is known to be not sharp the method provides improved numerical bounds. • In the second part of the thesis we give sharp estimates for time uniformpropagation of chaos in some specialsmean field spin-flipmodels exhibiting phase transition. The first model is the dynamical Curie-Weiss model, that can be considered as the most basic mean field model. The second example is a model proposed recently in the context of credit risk in Finance; it describes the time evolution of finantial indicators for a network of interacting firms. Although we have chosen to deal with two specific models, the method we use appear to be rather general, and should work for other classes of models. A substantial limitation of our results is that they are limited to the subcritical case or, in StatisticalMechanical terms, to the high temperature regime.

Sommario: Un approccio rigoroso a questioni di Fisica Statistica spesso produce interessanti problemi matematici. Questa tesi di dottorato è composta da due parti. La prima non interseca la seconda, ma entrambe stanno sul confine tra Teoria della Probabilità e Meccanica Statistica. • La prima parte tratta il problema della ricostruzione per catene di Markov su alberi di tipo Galton-Watson. Miglioriamoi risultati precedentemente ottenuti da Mossel e Peres, sia per catene simmetriche che fortemente asimmetriche. Dimostriamo una condizione sufficiente della forma Q(d)c(M) < 1 per la non ricostruzione di catene diMarkov a q-stati sull’albero. Qui c(M) è una costante che dipende dalla matrice di transizione M e Q(d) è la media del numero di figli per vertice nell’albero di Galton-Watson. Questo risultato è equivalente alla purezza della misura libera di Gibbs. Quando consideriamo il caso del modello di Potts assumiamo anche questo punto di vista. Il teorema è valido anche per catene non reversibili. Nel caso del modello di Ising il nostro risultato produce la correta soglia di ricostruzione, nel caso di catene (fortemente) asimmetriche dove si sa che il bound di Kesten-Stigum non è esatto il metodo usato dà risultati numerici migliori. • Nella seconda parte diamo delle stime uniformi nel tempo per la propagazione del caos in alcuni modelli di spin con interazione a campo medio che presentano transizione di fase. Il primo è il modello dinamico di Curie-Weiss, che può essere considerato come il più semplice esempio di sistema con interazione a campo medio. Il secondo è un modello recentemente impiegato per spiegare i meccanismi del rischio di credito; esso descrive l’evoluzione temporale di indicatori finaziari per un gruppo di aziende interagenti quotate sul mercato. Anche se abbiamo trattato modelli specifici, crediamo che il metodo funzioni piuttosto in generale e che sia applicabile anche ad altre classi di modelli. Una limitazione sostanziale dei nostri risultati è che valgono solo nel caso sottocritico, che corrisponde, nel linguaggio della Meccanica Statistica, al regime di alta temperatura.