Monotone 2-Groups

The generation problems are very interesting in the theory of finite groups. These problems can often be reduced to problems on the generators of p-groups. This has led to an increasing interest on the problems of generation in p-groups and on the study of classes of p-groups in which generators satisfy some precise conditions. In particular, it is very interesting the class of finite p-groups G with the property that the rank of G is equal to the number of generators of G (i.e. the number of generators of every subgroup of G is smaller than or equal to the number of generators of G). For instance, the abelian, the modular and the powerful p-groups belong to this class. Also the monotone p-groups lie in this class. We recall here the definition of monotone p-groups. Definition: Let G be a group. We denote with d(G) the number of generators of G. A p-group G is monotone if for every H and K subgroups of G with H contained in K, we have that d(H) is smaller than or equal to d(K). The class of monotone p-groups was introduced by A. Mann during the 1985 Saint Andrews Conference. In the paper " The number of generators of finite p-groups" published in 2005, Mann studies the monotone p-groups and classifies the monotone p-groups for p odd. When p=2, Mann does not classify the monotone 2-groups, but he gives some remarkable properties. For instance, he proves that a 2-group G is monotone if and only if the 2-generated subgroups of G are metacyclic. In this thesis, the monotone 2-groups are studied and completely determined.

I problemi di generazione sono problemi estremamente interessanti nella teoria dei gruppi finiti. Tali problemi spesso si riducono a problemi sui generatori di p-gruppi. Questo ha portato ad un sempre maggiore interesse per i problemi di generazione nei p-gruppi e allo studio di classi di p-gruppi finiti in cui i generatori del gruppo e dei sottogruppi soddisfano alcune precise condizioni. Di particolare interesse é la classe dei p-gruppi finiti G tali che il numero di generatori di ogni sottogruppo H di G è minore o uguale del numero di generatori di G. Esempi di p-gruppi appartenenti a questa classe sono i p-gruppi abeliani, i p-gruppi modulari e i p-gruppi powerful. Soddisfano tale proprietà anche i p-gruppi monotoni. Per questi ultimi ricordiamo la definizione. Definizione. Dato G un gruppo, sia d(G) il numero di generatori di G. Un p-gruppo G si dice monotono se per ogni H e K sottogruppi di G con H contenuto in K, si ha che d(H) è minore o uguale a d(K). I p-gruppi monotoni sono stati introdotti da A. Mann durante una conferenza tenutasi a Saint Andrews nel 1985. Lo stesso autore, in "The number of generators of finite p-groups", lavoro pubblicato nel 2005, studia i p-gruppi monotoni e li classifica per p dispari. Del caso p=2, non viene data alcuna classificazione ma vengono date alcune proprietà interessanti. Ad esempio, Mann dimostra che un 2-gruppo G è monotono se e solo se i sottogruppi 2-generati di G sono metaciclici. In questa tesi vengono studiati e classificati completamente i 2-gruppi monotoni.