A general method of weights in the d-bar-Neumann problem

This thesis works in partial differential equations and several complex variables that concentrates on a general estimate for $\bar\partial$-Neumann problem on domain which is $q$-pseudoconvex or $q$-pseudoconcave at the boundary point. Generalization of the Property ($P$) in [C84], we define the Property $(f\T-\M\T-P)^k$ at the boundary point. The Property $(f\T-\M\T-P)^k$ is a sufficient condition to get following estimate {(f\T-\M)^k} \qquad \no{f(\Lambda)\mathcal M u}^2\le c(\no{\bar\partial u}^2+\no{\bar\partial^*u}^2+\no{u}^2)+C_\M\no{u}^2_{-1} for any $u\in C^\infty_c(U\cap \bar{\Omega})^k\cap \T{Dom}(\dib^*)$. We want to point our attention that by the choice of $f$ and $\M$, $(f\T-\M)^k$ will be subelliptic estimate, superlogarithmic estimate, compactness estimate, subelliptic multiplier estimate... Moreover, the thesis contains some applications of $(f\T-\M)^k$ and constructions of the Property $(f\T-\M\T-P)^k$ on some class of domains.

Questa tesi tratta di Equazioni alle Derivate Parziali in Più Variabili Complesse e ha come obiettivo principale quello di stabilire una stima generale per il problema $\bar\partial$-Neumann su un dominio che è $q$-pseudoconvesso o $q$-pseudoconcavo in corrispondenza di un punto di bordo $zo$. Generalizzando la Proprietà $(P)$ di [C84], si introduce la Proprietà $(f\T-\M\T-P)^k$ in $z_o$. Essa dà luogo alla stima {(f\T-\M)^k} \qquad \no{f(\Lambda)\mathcal M u}^2\le c(\no{\bar\partial u}^2+\no{\bar\partial^*u}^2+\no{u}^2)+C_\M\no{u}^2_{-1} per ogni $u\in C^\infty_c(U\cap \bar{\Omega})^k\cap \T{Dom}(\dib^*)$ ove $U$ è un intorno di $z_o$. E' il caso di osservare che per opportune scelte di $f$ e di $\M$, la stima $(f\T-\M\T-P)^k$ coincide con le principali stime della letteratura quali quelle subellittiche, superlogaritmiche, di compattezza e infine quelle di moltiplicatore subellittico. La tesi ha anche l'obiettivo di esibire delle classi rilevanti di domini che godono della Proprietà $(f\T-\M\T-P)^k$ e di discutere letteratura recente sul problema $\bar\partial$-Neumann nel quadro di questa proprietà.