On some examples in higher Auslander-Reiten theory

Questa tesi è dedicata allo studio di alcuni esempi di algebre d-representation finite e infinite. Queste algebre sono la generalizzazione delle classiche algebre di tipo di rappresentazione finito e infinito nel contesto della teoria di Auslander-Reiten in dimensione superiore, introdotta da Iyama negli anni 2000. Nella prima parte della tesi introduciamo nuovi esempi di algebre d-representation infinite sfruttando la loro relazione con le algebre bimodulo (d+1)-Calabi-Yau di parametro di Gorenstein 1. Per prima cosa richiameremo alcuni risultati di Bocklandt, Schedler e Wemyss, e di Herschend, Iyama e Oppermann, che mostrano alcuni esempi dati da skew group algebre di sottogruppi finiti di gruppi lineari generali. Come generalizzazione delle classiche algebre ereditarie tame di tipo A, Herschend, Iyama e Oppermann hanno introdotto le algebre d-representation infinite di tipo A considerando sottogruppi abeliani di SL(d+1,C). Nel nostro lavoro otteniamo una costruzione simile per alcuni sottogruppi non abeliani. Più precisamente, studiamo la skew group algebra di alcuni sottogruppi metaciclici immersi in SL(s,C) e SL(s+1,C), quando s è un numero primo. A tale scopo diamo una descrizione dei quiver di McKay con superpotenziale di tali gruppi, e ne consideriamo dei grading ottenuti da tagli. Inoltre, mostriamo che per s=2 i nostri esempi corrispondono alle classiche algebre ereditarie tame di tipo D. La seconda parte della tesi tratta di skew group algebre di algebre Jacobiane. Dimostriamo che, se un gruppo ciclico finito agisce sull'algebra Jacobiana P(Q,W) di un quiver con potenziale (Q,W) soddisfando alcune assunzioni, allora la skew group algebra P(Q,W)*G è Morita equivalente all'algebra Jacobiana di un altro quiver con potenziale(Q_G,W_G), che è descritto esplicitamente. Il quiver con potenziale originale può essere quindi recuperato tramite una costruzione di skew group algebra rispetto a un'azione naturale del gruppo duale di G. Una delle motivazioni per questo lavoro risiede in un teorema di Herschend e Iyama, che mette in relazione i quiver con potenziale auto-iniettivi alle algebre 2-representation finite. Alla luce di ciò, studiamo il comportamento dei tagli su tali quiver sotto la nostra costruzione, allo scopo di ottenere nuovi esempi di algebre 2-representation finite da quelli già conosciuti. Presentiamo alcuni esempi dove la nostra costruzione può essere applicata, come i quiver con potenziale planari dove il gruppo agisce per rotazioni, e in particolare quelli auto-iniettivi che sono ottenuti da diagrammi di Postnikov.