SOME PROPERTIES OF THE MOEBIUS FUNCTION IN THE SUBGROUP LATTICE OF THE ALTERNATING AND SYMMETRIC GROUPS

We investigate some properties of the Moebius function on the subgroup lattice of the Alternating and Symmetric groups of degree n, Alt(n) and Sym(n). The study of this function is strictly related to the study of the probabilistic zeta function of a finite or profinite group. We obtain results on two different open questions. First we prove that in all the Alternating and Symmetric groups the Moebius number of each subgroup can be bounded polinomially in terms of its index and the number of subgroups with a given index n and non trivial Moebius number grows at most polynomially in n. This result is an important step in order to prove a conjecture of A.Mann on the absolute convergency of the probabilistic series associated to a positively finitely generated profinite group. Then we consider a problem introduced by A.Mann and N.Boston: they conjectured that the existence, for a fixed value of n, of a good correspondence between the maximal subgroups of Alt(n) and Sym(n) reflects the equality between the probabilistic series of Sym(n) and the probabilistic series of the direct product of Alt(n) with a cyclic group of order 2. We prove that this conjecture holds whenever n is a prime; but it does not hold in general (for example when n=21). Even if there exists a one-to-one correspondence between maximal subgroups of Alt(n) and Sym(n) the conjecture can fail; it is the case of n=62.

In questa tesi analizziamo alcune proprietà della funzione di Moebius nel reticolo dei sottogruppi dei gruppi Alterno e Simmetrico di grado n, Alt(n) and Sym(n). Lo studio di questa funzione è strettamente correlato allo studio della funzione zeta probabilistica di un gruppo finito o profinito. Otteniamo risultati riguardanti due problemi distinti. Innanzitutto dimostriamo che in ogni gruppo Alterno o Simmetrico il numero di Moebius di ogni sottogruppo può essere limitato polinomialmente nell'indice di tale sottogruppo, ed il numero di sottogruppi con un dato indice n e con numero di Moebius non nullo cresce al più polinomialmente in n. Questo risultato è un passo importante al fine di dimostrare la validità di una congettura di A.Mann riguardante la convergenza assoluta della serie probabilistica associata ad un gruppo profinito positivamente finitamente generato. In secondo luogo consideriamo un altro problema: A.Mann e N.Boston hanno congetturato che l'esistenza, per un dato valore di n, di una buona corrispondenza tra i sottogruppi massimali di Alt(n) and Sym(n) rifletta l'uguaglianza tra la serie probabilistica di Sym(n) e la serie probabilistica del prodotto diretto fra Alt(n) ed un gruppo ciclico di ordine 2. Proviamo che tale congettura vale se n è primo; ma non è vera in generale (ad esempio quando n=21). Persino se si assume l'esistenza di una corrispondenza biunivoca fra i massimali di Alt(n) e Sym(n), la congettura può non valere; è ciò che accade quando n=62.