On the Dirichlet polynomial of the simple groups of Lie type

In this thesis we discuss three problems concerning the Dirichlet polynomial $P_S(s)$ of a simple group of Lie type $S$. The first problem is a conjecture of Kennet Brown: if $G$ is a finite group, then the order complex of the coset poset of $G$ is not contractible. We prove that the conjecture holds for a large class $\mathfrak{C}$ of classical groups and we show how to generalize this result to the groups whose components are in the class $\mathfrak{C}$, under some assumptions. The second problem is to determine whether the Dirichlet polynomial of a simple group is reducible or not in the ring of Dirichlet polynomials. We give a complete answer for the Dirichlet polynomials of the simple groups of Lie type. This allows us to find the factorization into irreducible of the Dirichlet polynomial of a group whose non-abelian chief factors are simple groups of Lie type, under some assumptions on the rank of these last groups. The third problem is a conjecture of Erika Damian and Andrea Lucchini: if $S$ is a simple group and $G$ is a finite group such that $P_S(s)=P_G(s)$, then $G/\mathrm{Frat}(G)\cong S$. We complete the proof of this conjecture. This conjecture was proved for $S$ abelian, alternating and sporadic. Moreover, it was proved that if $G_1$ and $G_2$ are two non-isomorphic groups of Lie type defined over fields with the same characteristic, then $P_{G_1}(s)\neq P_{G_2}(s)$. We show that it is possible to recognize the characteristic of a group of Lie type form its Dirichlet polynomial. This is enough to complete the proof of the conjecture.

In questa tesi discuteremo tre problemi riguardanti il polinomio di Dirichlet $P_S(s)$ di $S$, gruppo semplice di tipo Lie. Il primo problema è una congettura di Kennet Brown: se $G$ è un gruppo finito, allora il complesso simpliciale associato al coset poset di $G$ non è contraibile. Dimostreremo che questa congettura vale per un'ampia classe $\mathfrak{C}$ di gruppi classici e mostreremo come generalizzare questo risultato a gruppi le cui componenti appartengono alla classe $\mathfrak{C}$, sotto certe condizioni. Il secondo problema consiste nel determinare quando il polinomio di Dirichlet di un gruppo semplice è riducibile nell'anello dei polinomi di Dirichlet. Daremo una risposta completa al problema per i polinomi di Dirichlet di gruppi semplici di tipo Lie. Questo ci permette di trovare la fattorizzazione in irriducibili del polinomio di Dirichlet di un gruppo i cui fattori principali non abeliani sono gruppi semplici di tipo Lie, con alcune ipotesi sul rango di questi ultimi gruppi. Il terzo problema è una congettura di Erika Damian e Andrea Lucchini: se $S$ è un gruppo semplice e $G$ è un gruppo finito tale che $P_S(s)=P_G(s)$, allora $G/\mathrm{Frat}(G)\cong S$. Completeremo la dimostrazione di questa congettura, che era stata già dimostrata per $S$ gruppo abeliano, alterno e sporadico. Inoltre, era stato dimostrato che se $G_1$ e $G_2$ sono due gruppi di tipo Lie definiti su campi con la stessa caratteristica e non isomorfi, allora $P_{G_1}(s)\neq P_{G_2}(s)$. Per completare la dimostrazione della congettura, mostreremo che è possibile riconoscere la caratteristica di un gruppo di tipo Lie dal suo polinomio di Dirichlet.