Direct sum decompositions and weak Krull-Schmidt Theorems

In this thesis we discuss the behaviour of direct sum decomposition in additive categories and in particular in categories of modules. In the first part of the thesis, we investigate the ring theoretical properties that play a main role in the theory of factorization in additive categories, like the exchange property, semilocality and Goldie dimension. We stress the importance of the latter and we investigate with care the infinite case of the dual Goldie dimension of rings. In the rest of the thesis, we use a more categorical approach, studying the behaviour of direct sum decomposition in additive categories. Given an additive category C, its skeleton V(C) has the structure of a commutative monoid under the operation of direct sum, and all the information about the regularity of the direct sum decomposition in the category C are traceable from the monoid V(C). We study classes of categories where the direct sum decomposition behaves quite regularly; mainly we restrict to categories C whose monoid V(C) is a Krull monoid, underlining the prominent role played by semilocal endomorphism rings. We analyze the peculiar behaviour of direct sum decomposition in some categories of modules, where the uniqueness of the decomposition is obtained up to two permutations, and we notice how this phenomenon is due to the presence of endomorphism rings of type two. In the last chapter we investigate what happens when we pass from finite direct sum of indecomposable objects to infinite direct sums, and we develop the setting for the phenomena we studied in the finite case to appear, both at a monoid theoretical and at a categorical level.

In questa tesi discutiamo il comportamento della decomposizione in somma diretta in categorie additive e in particolare in categorie di moduli. Nella prima parte della tesi, investighiamo le proprietà degli anelli che giocano un ruolo prominente nella teoria della fattorizzazione nelle categorie additive, come per esempio la proprietà di scambio, la semilocalità e la dimensione di Goldie. Vogliamo sottolineare l'importanza di quest'ultima e investighiamo con attenzione il caso infinito della dimensione duale di Goldie di un anello. Nel resto della tesi, utilizziamo un approccio più categoriale, studiando il comportamento della decomposizione in somma diretta nelle categorie additive. Data una categoria additiva C, il suo scheletro V(C) ha la struttura di un monoide commutativo rispetto all'operazione di somma diretta, e tutte le informazioni riguardo la regolarità della decomposizione in somma diretta nella categoria C sono rintracciabili attraverso il monoide V(C). Studiamo classi di categorie in cui la decomposizione in somma diretta assume un comportamento abbastanza regolare; principalemente ci restringiamo a categorie C il cui monoide V(C) è un monoide di Krull, evidenziando il ruolo prominente occupato da parte degli anelli degli endomorfismi semilocali. Analizziamo il comportamento peculiare della decomposizione in somma diretta in alcune categorie di moduli, dove l'unicità della decomposizione è garantita a meno di due permutazioni, e notiamo come questo fenomeno sia dovuto alla presenza di anelli degli endomorfismi di tipo due. Nell'ultimo capitolo investighiamo cosa succede quando passiamo da somme dirette finite di oggetti indecomponibili a somme dirette infinite, e sviluppiamo l'ambiente in cui i fenomeni studiati precedentemente nel caso finito si manifestano, sia ad un livello di teoria dei monodi sia ad un livello categoriale.