New construction methods for copulas and the multivariate case

Aggregation functions are mathematical objects that have the function of reducing a set of numbers into a unique representative number, combining several degrees of membership into one aggregated value. Particular kinds of aggregation functions are copulas which permit to represent joint distribution functions by splitting the marginal behaviour, embedded in the marginal distributions, from the dependence captured by the copula itself. The concept of copula can be extended to n dimensions, but multivariate extensions are generally not easily to be done. This thesis addresses and develops a new unified approach to copula-based modelling and characterizations of aggregation functions in the multivariate case. To cope with this problem, we have to understand the algebraic structure of lattice and supermodularity on a general lattice, because supermodularity is strictly connected to 2-increasingness and in the bivariate case copulas are a subclass of supermodular aggregation functions.

Le funzioni di aggregazione sono strumenti matematici importanti che riducono un insieme di numeri in un unico numero rappresentativo, combinando i vari gradi di appartenenza nel valore aggregato. Importanti funzioni di aggregazione sono le copule, che permettono di rappresentare funzioni di distribuzione marginali con la funzione di distribuzione congiunta, che cattura proprio nella copula la dipendenza tra le marginali. Il concetto di copula può essere esteso al caso multidimensionale, ma costruire copule multivariate non è un problema semplice. Questa tesi, partendo dalla generalizzazione dell'assioma tipico delle copule nel caso bivariato, apre la strada alle costruzioni multivariate. Si generalizza l'assioma di supermodularità con quello di ultramodularità e l'investigazione affronta il problema con un approccio unificato, studiando le copule proprio come particolari tipi di funzioni d'aggregazione.